Berechne die Lösung des Gleichungssystems

$\begin{array}{cccccccl}\mathrm{I}2x& & & +& z& =& 0& \\ \mathrm{II}& & -2y& +& 4z& =& 0& \\ \mathrm{III}& & 2y& -& 5z& =& 1& \end{array}$

Addiere Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}\Rightarrow -z=1\Rightarrow z=-1$

Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt dann mit $z=-1$: $2x+(-1)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt mit $z=-1$: $-2y+4\cdot (-1)=0\Rightarrow y=-2$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet $x={\displaystyle \frac{1}{2}},y=-2$ und $z=-1$.

Ermittele diesen Wert

$\begin{array}{cccccccl}\mathrm{I}2x& & & +& z& =& 0& \\ \mathrm{II}& & -2y& +& 4z& =& 0& \\ \mathrm{III}& & 2y& -& rz& =& 1& \end{array}$

Addiere Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}\Rightarrow 4z-rz=1\Rightarrow (4-r)\cdot z=1$

Die Gleichung $(4-r)\cdot z=1$ hat für $r=4$ keine Lösung, d.h. das Gleichungssystem hat für $r=4$ keine Lösung.