Zeige, dass es sich beim Dreieck $ABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}$ handelt

$|\overrightarrow{AC}|=\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ z\end{array}\right)\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$|\overrightarrow{BC}|=\left|\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ z\end{array}\right)\right)=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$|\overrightarrow{AB}|=\left|\left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{100}=10$

Die Beträge der Schenkellängen $|\overrightarrow{AC}|$ und $|\overrightarrow{BC}|$ sind gleich groß und ungleich der Länge der Basis $|\overrightarrow{AB}|$.

Es handelt sich somit beim Dreieck $ABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}$.

Bestimme den Wert von z

Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}$ benötigt.

Berechne den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$.

$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ z\end{array}\right)\Rightarrow |\overrightarrow{MC}|=z$

Berechne die Dreiecksfläche $A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot h$:

$A_{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{MC}|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{8^2+6^2}\cdot z={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot z=5z$

Also muss $5z=35$ sein:

$\Rightarrow 5z=35\Rightarrow z=7$

Der Wert von $z$ ist gleich $7$.