A3

Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $gg$ an

Gegeben ist $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+5g(x)=\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\; x^\{2\}-6\; x+5$:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-x-6g\text{'}(x)=x^2-x-6$

Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $gg$ lautet $g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-x-6g\text{'}(x)=x^2-x-6$.

Berechne die Extremstellen von $gg$

Die möglichen Extremstellen ergeben sich aus der notwendigen Bedingung:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-x-6=0g\text{'}(x)=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-x-6=0$

Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel:

$x_1=\mathrm{0,5}-\mathrm{2,5}=-2x\_1=0\{,\}5-2\{,\}5=-2$ und $x_2=\mathrm{0,5}+\mathrm{2,5}=3x\_2=0\{,\}5+2\{,\}5=3$

Die Extremstellen von $gg$ sind $x_1=-2x\_1=-2$ und $x_2=3x\_2\; =3$.

Berechne die Art der Extremstellen

Für Bestimmung der Art der Extremstellen kann entweder die 2. Ableitung verwenden werden oder es wird, so wie hier, das Vorzeichenwechselkriterium verwendet.

Mit $g^{\mathrm{\prime }}(-3)=(-3{)}^2-(-3)-6=6>0g^\{\backslash prime\}(-3)=(-3)^\{2\}-(-3)-6=6>0$ und folgt, dass bei $x=-2x=-2$ ein lokales Maximum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -+\backslash mapsto\; -$).

Mit und $g^{\mathrm{\prime }}(4)=4^2-4-6=6>0g^\{\backslash prime\}(4)=4^\{2\}-4-6=6>0$ folgt, dass bei $x=3x=3$ ein lokales Minimum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $-\mapsto +-\backslash mapsto\; +$).

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $ff$ und $gg$ an

Die beiden Schnittstellen können aus der Abbildung entnommen werden.

Die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $ff$ und $gg$ sind $x=0x=0$ und $x=3x=3$.

Zeige $D(x)D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $dd$

Wenn $D(x)D(x)$ eine Stammfunktion der Funktion $dd$ ist, dann muss $D^{\mathrm{\prime }}(x)=d(x)D\text{'}(x)=d(x)$ sein.

Bilde die erste Ableitung von $DD$ mit der Produktregel:

$D(x)=(4-x)\cdot {\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}\cdot x^2-3\cdot xD(x)=(4-x)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}+0\{,\}5\; \backslash cdot\; x^\{2\}-3\; \backslash cdot\; x$

$\Rightarrow D^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^x+(4-x)\cdot e^x+x-3=-e^x\cdot (1-4+x)+x-3\backslash Rightarrow\backslash ;\; D\text{'}(x)=\; -e^x+(4-x)\backslash cdot\; e^x+x-3=-e^x\backslash cdot\; (1-4+x)+x-3$

$\Rightarrow D^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^x\cdot (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\cdot e^x=d(x)\backslash Rightarrow\backslash ;\; D\text{'}(x)=-e^x\backslash cdot\; (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\backslash cdot\; e^x=d(x)$

Damit ist $D(x)D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $dd$.

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $ff$ und $gg$ eingeschlossen wird

Für den Flächeninhalt gilt:

${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x=D(3)-D(0)=((4-3)\cdot {\mathrm{e}}^3+\mathrm{0,5}\cdot 3^2-3\cdot 3)-4\cdot {\mathrm{e}}^0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}\; d(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=D(3)-D(0)=\backslash left((4-3)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}+0\{,\}5\backslash cdot\; 3^2-3\backslash cdot\; 3\backslash right)-4\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{0\}$

${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^3+\mathrm{4,5}-9-4=e^3-\mathrm{8,5}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{3\}\; d(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash mathrm\{e\}^\{3\}+4\{,\}5-9-4=e^3-8\{,\}5$

Der Flächeninhalt beträgt $({\mathrm{e}}^3-\mathrm{8,5})\mathrm{F}\mathrm{E}(\backslash mathrm\{e\}^\{3\}-8\{,\}5)\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Bestimme diejenige reelle Zahl $mm$ mit , für die der Graph von $ff$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot xy=m\; \backslash cdot\; x$ eine Fläche mit dem Inhalt $3636$ einschließen

Gegeben: $f(x)=x^{2}f(x)=x^\{2\}$, $y=m\cdot xy=m\; \backslash cdot\; x$ mit und $A=36A=36$

Berechne die Schnittpunkte:

Setze $f(x)=yf(x)=y$:

$x^2=m\cdot xx^2=m\backslash cdot\; x$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

$x=0\vee x=mx=0\; \backslash vee\; x=m$

Für und verläuft die Gerade oberhalb des Graphen von $ff$.

Berechnung der eingeschlossenen Fläche für :

${\displaystyle {\int }_m^0(m\cdot x-x^2)\mathrm{d}x={[\frac{1}{2}m\cdot x^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_m^0=-(\frac{1}{2}{m}^3-\frac{1}{3}{m}^3)=-\frac{1}{6}{m}^3}\backslash displaystyle\backslash int\_\{m\}^\{0\}\backslash left(m\backslash cdot\; x-x^\{2\}\backslash right)\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash left[\backslash frac\{1\}\{2\}\; m\backslash cdot\; x^\{2\}-\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}\backslash right]\_\{m\}^\{0\}=-\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; m^\{3\}-\backslash frac\{1\}\{3\}\; m^\{3\}\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{6\}\; m^\{3\}$

Bestimmung der gesuchten Zahl $m:-\frac{1}{6}{m}^3=36\iff m=-6m:-\backslash frac\{1\}\{6\}\; m^\{3\}=36\; \backslash Leftrightarrow\; m=-6$.

Der Graph von $ff$ und die Gerade mit der Gleichung $y=-6\cdot xy=-6\; \backslash cdot\; x$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $3636$ ein.

Zeige, dass es sich beim Dreieck $ABCABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}\backslash overline\{A\; B\}$ handelt

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\mid \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ z\end{array}\right)\mid =\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}|\backslash overrightarrow\{A\; C\}|=\backslash left|\backslash begin\{pmatrix\}4\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \backslash \; z\backslash end\{pmatrix\}\backslash right|=\backslash sqrt\{4^2+3^2+z^\{2\}\}=\backslash sqrt\{25+z^2\}$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }=\mid \left(\begin{array}{c}-4\\ -3\\ z\end{array}\right))=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}|\backslash overrightarrow\{B\; C\}|=\backslash left\backslash lvert\backslash ,\backslash begin\{pmatrix\}-4\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash \backslash \; z\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)\; =\backslash sqrt\{(-4)^2+(-3)^2+z^\{2\}\}=\backslash sqrt\{25+z^2\}$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\mid \left(\begin{array}{c}8\\ 6\\ 0\end{array}\right)\mid =\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{100}=10|\backslash overrightarrow\{A\; B\}|=\backslash left|\backslash begin\{pmatrix\}8\; \backslash \backslash \; 6\; \backslash \backslash \; 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash right|=\backslash sqrt\{8^2+6^2+0^\{2\}\}=\backslash sqrt\{100\}=10$

Die Beträge der Schenkellängen $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }|\backslash overrightarrow\{A\; C\}|$ und $\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }|\backslash overrightarrow\{B\; C\}|$ sind gleich groß und ungleich der Länge der Basis $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }|\backslash overrightarrow\{A\; B\}|$.

Es handelt sich somit beim Dreieck $ABCABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AB}\backslash overline\{A\; B\}$.

Bestimme den Wert von z

Für die Dreiecksfläche wird die Höhe auf $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$ benötigt.

Berechne den Mittelpunkt $MM$ von $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$.

$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{OM\}\; =\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot(\backslash overrightarrow\{OA\}+\backslash overrightarrow\{O\; B\})=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 3\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ z\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }\overrightarrow{MC}\mathrm{\mid }=z\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{MC\}=\backslash overrightarrow\{OC\}-\backslash overrightarrow\{OM\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 3\backslash \backslash z\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 3\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash z\backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overrightarrow\{M\; C\}|=z$

Berechne die Dreiecksfläche $A_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot hA\_\backslash triangle=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; g\backslash cdot\; h$:

$A_{\mathrm{△}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{MC}\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{8^2+6^2}\cdot z={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 10\cdot z=5zA\_\backslash triangle=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; |\backslash overrightarrow\{A\; B\}|\; \backslash cdot|\backslash overrightarrow\{M\; C\}|=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{8^2+6^2\}\; \backslash cdot\; z=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 10\backslash cdot\; z=5z$

Also muss $5z=355z\; =35$ sein:

$\Rightarrow 5z=35\Rightarrow z=7\backslash Rightarrow\backslash ;5z=35\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; z=7$

Der Wert von $zz$ ist gleich $77$.

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $XX$

Es ist $E(X)=n\cdot p=100\cdot \mathrm{0,8}=80E(X)=n\backslash cdot\; p=\; 100\backslash cdot\; 0\{,\}8=80$ und $\sigma (X)=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,8}\cdot (1-\mathrm{0,8})}=\sqrt{16}=4\backslash sigma(X)=\backslash sqrt\{\; 100\backslash cdot\; 0\{,\}8\backslash cdot\; (1-0\{,\}8)\}=\backslash sqrt\{16\}=4$

Der Erwartungswert von $XX$ beträgt $8080$ und die Standardabweichung von $XX$ beträgt $44$.

Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau $8080$-mal die Dartscheibe trifft

Es ist $P(X=80)=\text{binomPdf}(\mathrm{100,0.8,80})=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{100}{80}\right)\cdot {\mathrm{0,8}}^{80}\cdot {\mathrm{0,2}}^{20}P(X=80)=\backslash text\{binomPdf\}(100\{,\}0.8\{,\}80)=\backslash binom\{100\}\{80\}\; \backslash cdot\; 0\{,\}8^\{80\}\; \backslash cdot\; 0\{,\}2^\{20\}$.

Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft

$P(\text{mindestens einmal die Dartscheibe treffen})=1-P(\text{keinmal die Dartscheibe treffen})P(\backslash text\{mindestens\; einmal\; die\; Dartscheibe\; treffen\})=1-P(\backslash text\{keinmal\; die\; Dartscheibe\; treffen\})$

Die Dartscheibe nicht zutreffen ist gleich $1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}1-0\{,\}8=0\{,\}2$ und die Wahrscheinlichkeit, die Dartscheibe 100-mal nicht zu treffen beträgt dann ${\mathrm{0,2}}^{100}0\{,\}2^\{100\}$.

$P(\text{mindestens einmal die Dartscheibe treffen})=1-{\mathrm{0,2}}^{100}P(\backslash text\{mindestens\; einmal\; die\; Dartscheibe\; treffen\})=1-0\{,\}2^\{100\}$

Der Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, lautet $1-{\mathrm{0,2}}^{100}1-0\{,\}2^\{100\}$.

Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100\mathrm{\%}100\backslash ;\backslash \%$ beträgt

${\mathrm{0,2}}^{100}0\{,\}2^\{100\}$ ist eine „sehr kleine“ positive Zahl, die nahezu den Wert $00$ hat.

Daher gilt: $1-{\mathrm{0,2}}^{100}\approx 1=100\mathrm{\%}1-0\{,\}2^\{100\}\; \backslash approx\; 1=100\backslash ;\backslash \%$.