B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $- 4 \leq x \leq 4,8$ die Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2} + 1,2, x \in ℝ$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1 m$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion $h$ mit

$h (x) = u \cdot (- \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2}) + 1,2, x \in ℝ, mit u > 0$ .

Begründen Sie, dass $h^{'} (x) = u \cdot f^{'} (x)$ gilt, und erläutern Sie, wie der Graph von $h^{'}$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervorgeht. (2 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Begründe, dass $h^{'} (x) = u \cdot f^{'} (x)$ gilt
Gegeben ist $f (x) = - \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2} + 1,2$ und $h (x) = u \cdot (- \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2}) + 1,2$ .
Dann ist $f^{'} (x) = - \frac{1}{64} x^{3} + \frac{1}{4} x$ .
Für $h^{'} (x)$ folgt: $h^{'} (x) = u \cdot (- \frac{1}{64} x^{3} + \frac{1}{4} x) = u \cdot f^{'} (x)$
Erläutere, wie der Graph von $h^{'}$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervorgeht
Der Graph von $h^{'}$ geht durch eine Streckung in $y$ -Richtung mit einem positiven Streckfaktor $u > 0$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervor.
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Teil 1
Berechne die Ableitung von $h (x)$ und vergleiche mit der Ableitung von $f (x)$ .
Teil 2
$f^{'} (x)$ wird mit dem Faktor $u >$ 0 multipliziert. Welche Transformation von $f^{'}$ ist das?
Ermitteln Sie den Wert von $u$ , bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat
Es ist $h^{'} (x) = u \cdot (- \frac{1}{64} x^{3} + \frac{1}{4} x)$ .
Berechne $h^{'} (4,8) = - 0,85$ .
$u \cdot (- \frac{1}{64} \cdot {4,8}^{3} + \frac{1}{4} \cdot 4,8)$ $=$ $- 0,85$
↓
Berechne den Term in der Klammer.
$u \cdot (- 0,528)$ $=$ $- 0,85$ $: (- 0,528)$
$u$ $\approx$ $1,610$
Für $u \approx 1,610$ hat diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ .
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Berechne $h^{'} (4,8) = - 0,85$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$u \cdot (- \frac{1}{64} \cdot {4,8}^{3} + \frac{1}{4} \cdot 4,8)$	$=$	$- 0,85$
	↓	Berechne den Term in der Klammer.
$u \cdot (- 0,528)$	$=$	$- 0,85$	$: (- 0,528)$
$u$	$\approx$	$1,610$

Aufgabe 5

Begründe, dass h′(x)=u⋅f′(x) gilt

Erläutere, wie der Graph von h′ aus dem Graphen von f′ hervorgeht

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Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle x=4,8 die Steigung m=−0,85 hat

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Begründe, dass $h^{'} (x) = u \cdot f^{'} (x)$ gilt

Erläutere, wie der Graph von $h^{'}$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervorgeht

Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat