B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Für ein $a \in ℝ$ ist die Gerade $h_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 a \\ - 7 \\ a \end{array}), s \in ℝ$ , gegeben. Die Koordinaten des Schnittpunktes $S (5 | 1 | 3)$ der Geraden $g$ aus Aufgabe 1 mit der Geraden $h_{a}$ sind der geheime Code.

Bestimmen Sie $a \in ℝ$ so, dass sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ schneiden. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)
Bestimme $a \in ℝ$ so, dass sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ schneiden
Da $S \in g$ muss auch $S \in h_{a}$ sein.
Setze $S$ in $h_{a}$ ein:
$(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 a \\ - 7 \\ a \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{c} 3 a \\ - 7 \\ a \end{array})$
Aus Gleichung II folgt $s = 1$ .
$s = 1$ in Gleichung I eingesetzt ergibt $12 = 1 \cdot 3 \cdot a \Rightarrow a = 4$
Überprüfung mit Gleichung III: $4 = 1 \cdot 4 ✓$
Für $a = 4$ schneiden sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ .
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Da $S \in g$ muss auch $S \in h_{a}$ sein.
Setze $S$ in $h_{a}$ ein und löse nach $a$ auf.
Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines von $S$ verschiedenen Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_{4}$ liegt.
Geben Sie die Koordinaten eines von $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist. $(1 P)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Gib die Koordinaten eines von $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist
Gegeben sind $S (5 | 1 | 3)$ und $h_{4} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$ .
Setze z.B. $s = - 1$ in $h_{4}$ ein $\Rightarrow \vec{O P} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 19 \\ 15 \\ - 5 \end{array})$
Der Punkt $P (- 19 | 15 | - 5)$ ist ein Punkt, für den gilt $P \in h_{4}$ und er stimmt nicht mit $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S (5 | 1 | 3)$ überein.
Der Punkt $P$ ist als Teilgeheimnis geeignet.
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Gegeben sind $S (5 | 1 | 3)$ und $h_{4} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$ .
Setze einen Wert für $s$ in $h_{4}$ ein $\Rightarrow P$ . Beachte $s \neq 0$ und $s \neq 1$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Bestimme a∈ℝ so, dass sich g und ha im Punkt S schneiden

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Gib die Koordinaten eines von (−7|8|−1) und S verschiedenen Punktes P an, der als Teilgeheimnis geeignet ist

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Bestimme $a \in ℝ$ so, dass sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ schneiden

Gib die Koordinaten eines von $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist