In der analytischen Geometrie wird eine Gerade im Raum durch eine Vektorgleichung
dargestellt.
Dabei ist der Aufpunkt und der Richtungsvektor der Geraden. Durchläuft der Parameter alle Zahlen von bis , so durchläuft der zum Ortsvektor gehörende Punkt die ganze Gerade.
Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt auf dieser Geraden ?
Vorgehensweise
Gegeben sind die Geradengleichung und ein Punkt :
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du erhältst drei Koordinatengleichungen.
Ist das Gleichungssystem lösbar, dann gibt es einen Parameter , der alle drei Koordinatengleichungen erfüllt. Der Punkt liegt auf der Geraden .
Ist das Gleichungssystem unlösbar, dann liegt der Punkt nicht auf der Geraden .
Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im .
Beispiel (der Punkt liegt auf der Geraden)
Gegeben sind die Gerade und der Punkt . Liegt der Punkt auf der Geraden ?
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
Damit hat das Gleichungssystem die Lösung .
Beispiel (der Punkt liegt nicht auf der Geraden)
Gegeben sind die Gerade und der Punkt . Liegt der Punkt auf der Geraden ?
Führe eine Punktprobe durch. Setze für den Vektor ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung, da die Parameterwerte nicht alle den gleichen Wert haben.
Übungsaufgaben: Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)
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