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Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)

In der analytischen Geometrie wird eine Gerade im Raum durch eine Vektorgleichung

g:X⃗=OA→+r⋅u⃗\displaystyle g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

dargestellt.

Dabei ist AA der Aufpunkt und u⃗\vec u der Richtungsvektor der Geraden. Durchläuft der Parameter rr alle Zahlen von −∞-\infty bis +∞+\infty, so durchläuft der zum Ortsvektor X⃗\vec X gehörende Punkt XX die ganze Gerade.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt P P auf dieser Geraden gg?

Punkt Aauf einer Geraden

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben sind die Geradengleichung gg und ein Punkt PP:

g:X⃗=OA→+r⋅u⃗\displaystyle g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X⃗\vec X den Vektor OP→\overrightarrow{OP} ein:

OP→=OA→+r⋅u⃗\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

Du erhältst drei Koordinatengleichungen.

Ist das Gleichungssystem lösbar, dann gibt es einen Parameter rr, der alle drei Koordinatengleichungen erfüllt. Der Punkt PP liegt auf der Geraden gg.

Ist das Gleichungssystem unlösbar, dann liegt der Punkt PP nicht auf der Geraden gg.

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im R2\mathbb{R}^2.

Beispiel P∈gP\in g (der Punkt liegt auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade g:X⃗=(22−3)+r⋅(121)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}und der Punkt P(−1∣−4∣−6)P(-1|-4|-6). Liegt der Punkt P P auf der Geraden gg?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X⃗\vec X den Vektor OP→\overrightarrow{OP} ein:

(−1−4−6)=(22−3)+r⋅(121)  ⇒  (−3−6−3)=r⋅(121)\begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-6\\-3\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

(I)      −3=r\mathrm{(I)}\;\;\; -3=r

(II)    −6=2r  ⇒  r=−3\mathrm{(II)}\;\; -6=2r\;\Rightarrow\;r=-3

(III)  −3=r\mathrm{(III)}\; -3=r

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung r=−3r=-3.

  ⇒  \;\Rightarrow\; P∈gP\in g

Beispiel P∉gP\notin g (der Punkt liegt nicht auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade g:X⃗=(23−3)+r⋅(122)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}und der Punkt P(4∣7∣2)P(4|7|2). Liegt der Punkt P P auf der Geraden gg?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X⃗\vec X den Vektor OP→\overrightarrow{OP} ein:

(472)=(23−3)+r⋅(122)  ⇒  (245)=r⋅(122)\begin{pmatrix}4\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

(I)      2=r\mathrm{(I)}\;\;\; 2=r

(II)    4=2r  ⇒  r=2\mathrm{(II)}\;\; 4=2 r\;\Rightarrow\;r=2

(III)  5=2r  ⇒  r=2,5\mathrm{(III)}\; 5=2r\;\Rightarrow\;r=2{,}5

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung, da die Parameterwerte nicht alle den gleichen Wert r=2r=2 haben.

  ⇒  \;\Rightarrow\; P∉gP\notin g

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