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Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)

 Punkt Aauf einer Geraden

In der analytischen Geometrie wird eine Gerade im Raum durch eine Vektorgleichung

dargestellt.

Dabei ist AA der Aufpunkt und u\vec u der Richtungsvektor der Geraden. Durchläuft der Parameter rr alle Zahlen von -\infty bis ++\infty, so durchläuft der zum Ortsvektor X\vec X gehörende Punkt XX die ganze Gerade.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt P P auf dieser Geraden gg?

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben sind die Geradengleichung gg und ein Punkt PP:

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Du erhältst drei Koordinatengleichungen.

Ist das Gleichungssystem lösbar, dann gibt es einen Parameter rr, der alle drei Koordinatengleichungen erfüllt. Der Punkt PP liegt auf der Geraden gg.

Ist das Gleichungssystem unlösbar, dann liegt der Punkt PP nicht auf der Geraden gg.

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im R2\mathbb{R}^2.

Beispiel PgP\in g (der Punkt liegt auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade g:X=(223)+r(121)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}und der Punkt P(146)P(-1|-4|-6). Liegt der Punkt P P auf der Geraden gg?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

(146)=(223)+r(121)    (363)=r(121)\begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-6\\-3\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

(I)      3=r\mathrm{(I)}\;\;\; -3=r

(II)    6=2r    r=3\mathrm{(II)}\;\; -6=2r\;\Rightarrow\;r=-3

(III)  3=r\mathrm{(III)}\; -3=r

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung r=3r=-3.

    \;\Rightarrow\; PgP\in g

Beispiel PgP\notin g (der Punkt liegt nicht auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade g:X=(233)+r(122)g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}und der Punkt P(472)P(4|7|2). Liegt der Punkt P P auf der Geraden gg?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

(472)=(233)+r(122)    (245)=r(122)\begin{pmatrix}4\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

(I)      2=r\mathrm{(I)}\;\;\; 2=r

(II)    4=2r    r=2\mathrm{(II)}\;\; 4=2 r\;\Rightarrow\;r=2

(III)  5=2r    r=2,5\mathrm{(III)}\; 5=2r\;\Rightarrow\;r=2{,}5

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung, da die Parameterwerte nicht alle den gleichen Wert r=2r=2 haben.

    \;\Rightarrow\; PgP\notin g

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