Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)

In der analytischen Geometrie wird eine Gerade im Raum durch eine Vektorgleichung

g : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u}

dargestellt.

Dabei ist $A$ der Aufpunkt und $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Geraden. Durchläuft der Parameter $r$ alle Zahlen von $- \infty$ bis $+ \infty$ , so durchläuft der zum Ortsvektor $\vec{X}$ gehörende Punkt $X$ die ganze Gerade.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt $P$ auf dieser Geraden $g$ ?

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben sind die Geradengleichung $g$ und ein Punkt $P$ :

g : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:

\vec{O P} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u}

Du erhältst drei Koordinatengleichungen.

Ist das Gleichungssystem lösbar, dann gibt es einen Parameter $r$ , der alle drei Koordinatengleichungen erfüllt. Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$ .

Ist das Gleichungssystem unlösbar, dann liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ .

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im $ℝ^{2}$ .

Beispiel $P \in g$ (der Punkt liegt auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ und der Punkt $P (- 1 | - 4 | - 6)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ ?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:

$(\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \\ - 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3 \\ - 6 \\ - 3 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$(I) - 3 = r$

$(I I) - 6 = 2 r \Rightarrow r = - 3$

$(I I I) - 3 = r$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = - 3$ .

$\Rightarrow$ $P \in g$

Beispiel $P \notin g$ (der Punkt liegt nicht auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ und der Punkt $P (4 | 7 | 2)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ ?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:

$(\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$(I) 2 = r$

$(I I) 4 = 2 r \Rightarrow r = 2$

$(I I I) 5 = 2 r \Rightarrow r = 2,5$

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung, da die Parameterwerte nicht alle den gleichen Wert $r = 2$ haben.

$\Rightarrow$ $P \notin g$

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