Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)

In der analytischen Geometrie wird eine Gerade im Raum durch eine Vektorgleichung

\displaystyle g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

dargestellt.

Dabei ist $A$ der Aufpunkt und $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden. Durchläuft der Parameter $r$ alle Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ , so durchläuft der zum Ortsvektor $\vec X$ gehörende Punkt $X$ die ganze Gerade.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt $P$ auf dieser Geraden $g$ ?

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben sind die Geradengleichung $g$ und ein Punkt $P$ :

\displaystyle g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

Du erhältst drei Koordinatengleichungen.

Ist das Gleichungssystem lösbar, dann gibt es einen Parameter $r$ , der alle drei Koordinatengleichungen erfüllt. Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$ .

Ist das Gleichungssystem unlösbar, dann liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ .

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im $\mathbb{R}^2$ .

Beispiel $P\in g$ (der Punkt liegt auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade $g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und der Punkt $P (- 1 ∣ - 4 ∣ - 6)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ ?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-6\\-3\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\mathrm{(I)}\;\;\; -3=r$

$\mathrm{(II)}\;\; -6=2r\;\Rightarrow\;r=-3$

$\mathrm{(III)}\; -3=r$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = - 3$ .

$\;\Rightarrow\;$ $P\in g$

Beispiel $P\notin g$ (der Punkt liegt nicht auf der Geraden)

Gegeben sind die Gerade $g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und der Punkt $P (4 ∣ 7 ∣ 2)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ ?

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}4\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\mathrm{(I)}\;\;\; 2=r$

$\mathrm{(II)}\;\; 4=2 r\;\Rightarrow\;r=2$

$\mathrm{(III)}\; 5=2r\;\Rightarrow\;r=2{,}5$

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung, da die Parameterwerte nicht alle den gleichen Wert $r = 2$ haben.

$\;\Rightarrow\;$ $P\notin g$

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Beispiel P∉gP\notin gP∈/g (der Punkt liegt nicht auf der Geraden)

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