In der analytischen Geometrie wird eine Gerade im Raum durch eine Vektorgleichung
g : X ⃗ = O A → + r ⋅ u ⃗ \displaystyle g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u} g : X = O A + r ⋅ u dargestellt.
Dabei ist A A A u ⃗ \vec u u r r r − ∞ -\infty − ∞ + ∞ +\infty + ∞ X ⃗ \vec X X X X X
Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt P P P g g g
Vorgehensweise Gegeben sind die Geradengleichung g g g P P P
g : X ⃗ = O A → + r ⋅ u ⃗ \displaystyle g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u} g : X = O A + r ⋅ u Führe eine Punktprobe durch. Setze für X ⃗ \vec X X O P → \overrightarrow{OP} OP
O P → = O A → + r ⋅ u ⃗ \displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u} OP = O A + r ⋅ u Du erhältst drei Koordinatengleichungen.
Ist das Gleichungssystem lösbar, dann gibt es einen Parameter r r r P P P g g g
Ist das Gleichungssystem unlösbar, dann liegt der Punkt P P P g g g
Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im R 2 \mathbb{R}^2 R 2
Beispiel P ∈ g P\in g P ∈ g Gegeben sind die Gerade g : X ⃗ = ( 2 2 − 3 ) + r ⋅ ( 1 2 1 ) g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} g : X = 2 2 − 3 + r ⋅ 1 2 1 P ( − 1 ∣ − 4 ∣ − 6 ) P(-1|-4|-6) P ( − 1∣ − 4∣ − 6 ) P P P g g g
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X ⃗ \vec X X O P → \overrightarrow{OP} OP
( − 1 − 4 − 6 ) = ( 2 2 − 3 ) + r ⋅ ( 1 2 1 ) ⇒ ( − 3 − 6 − 3 ) = r ⋅ ( 1 2 1 ) \begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-6\\-3\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} − 1 − 4 − 6 = 2 2 − 3 + r ⋅ 1 2 1 ⇒ − 3 − 6 − 3 = r ⋅ 1 2 1
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
( I ) − 3 = r \mathrm{(I)}\;\;\; -3=r ( I ) − 3 = r
( I I ) − 6 = 2 r ⇒ r = − 3 \mathrm{(II)}\;\; -6=2r\;\Rightarrow\;r=-3 ( II ) − 6 = 2 r ⇒ r = − 3
( I I I ) − 3 = r \mathrm{(III)}\; -3=r ( III ) − 3 = r
Damit hat das Gleichungssystem die Lösung r = − 3 r=-3 r = − 3
⇒ \;\Rightarrow\; ⇒ P ∈ g P\in g P ∈ g
Beispiel P ∉ g P\notin g P ∈ / g Gegeben sind die Gerade g : X ⃗ = ( 2 3 − 3 ) + r ⋅ ( 1 2 2 ) g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} g : X = 2 3 − 3 + r ⋅ 1 2 2 P ( 4 ∣ 7 ∣ 2 ) P(4|7|2) P ( 4∣7∣2 ) P P P g g g
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X ⃗ \vec X X O P → \overrightarrow{OP} OP
( 4 7 2 ) = ( 2 3 − 3 ) + r ⋅ ( 1 2 2 ) ⇒ ( 2 4 5 ) = r ⋅ ( 1 2 2 ) \begin{pmatrix}4\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} 4 7 2 = 2 3 − 3 + r ⋅ 1 2 2 ⇒ 2 4 5 = r ⋅ 1 2 2
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
( I ) 2 = r \mathrm{(I)}\;\;\; 2=r ( I ) 2 = r
( I I ) 4 = 2 r ⇒ r = 2 \mathrm{(II)}\;\; 4=2 r\;\Rightarrow\;r=2 ( II ) 4 = 2 r ⇒ r = 2
( I I I ) 5 = 2 r ⇒ r = 2 , 5 \mathrm{(III)}\; 5=2r\;\Rightarrow\;r=2{,}5 ( III ) 5 = 2 r ⇒ r = 2 , 5
Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung, da die Parameterwerte nicht alle den gleichen Wert r = 2 r=2 r = 2
⇒ \;\Rightarrow\; ⇒ P ∉ g P\notin g P ∈ / g
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