Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)

Ebenenformen

1. Parameterform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

$E:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec{u}+s\cdot \vec{v}E:\backslash ;\backslash vec\; X=\backslash overrightarrow\{OA\}+r\backslash cdot\; \backslash vec\; u\; +s\backslash cdot\; \backslash vec\; v$

Dabei ist $AA$ der Aufpunkt und $\vec{u}\backslash vec\; u$ und $\vec{v}\backslash vec\; v$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec{X}\backslash vec\; X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}\backslash overrightarrow\{OP\}$ ein:

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec{u}+s\cdot \vec{v}\backslash overrightarrow\{OP\}=\backslash overrightarrow\{OA\}+r\backslash cdot\; \backslash vec\; u\; +s\backslash cdot\; \backslash vec\; v$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann liegt der Punkt $PP$ in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt der Punkt $PP$ nicht in der Ebene.

Beispiel Punkt $PP$ liegt in der Ebene $EE$ (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung $EE$ und der Punkt $PP$:

$E:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)E:\backslash ;\backslash vec\; X=\backslash begin\{pmatrix\}1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}+s\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -3\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash end\{pmatrix\}$und $P(9\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }6)P(9|3|6)$

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec{X}\backslash vec\; X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}\backslash overrightarrow\{OP\}$ ein:

$\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}8\\ 1\\ 4\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}9\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \backslash \; 6\; \backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}+s\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -3\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash begin\{pmatrix\}8\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{pmatrix\}=r\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}+s\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -3\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):4=-2s\Rightarrow s=-2\backslash mathrm\{(I)\}-\backslash mathrm\{(III)\}:\backslash ;4=-2s\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;s=-2$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(III)\}\backslash ;$folgt: $4=2\cdot r-(-2)\Rightarrow r=14=2\backslash cdot\; r-(-2)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;r=1$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}):1=-1-(-2)=1\mathrm{✓}\backslash mathrm\{(II)\}:\backslash ;1=-1-(-2)=1\backslash ;\backslash checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=1r=1$ und $s=-2s=-2$ erhalten.

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $PP$ liegt in der Ebene $EE$.

Beispiel Punkt $PP$ liegt nicht in der Ebene $EE$ (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung $EE$ und der Punkt $PP$:

und $P(8\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }8)P(8|2|8)$. Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}\backslash vec\; X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}\backslash overrightarrow\{OP\}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):1=s\backslash mathrm\{(I)\}-\backslash mathrm\{(III)\}:\backslash ;1=s$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(II)\}\backslash ;$folgt: $r=s\Rightarrow r=1r=s\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;r=1$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):6=2\cdot 1+2\cdot 1=4\backslash mathrm\{(III)\}:\backslash ;6=2\backslash cdot1+2\backslash cdot\; 1=4$$\Rightarrow 6\mathrm{\ne }4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;6\backslash neq4$

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Ergebnis: Der Punkt $PP$ liegt nicht in der Ebene $EE$.

2. Normalenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\overrightarrow{OX}\backslash overrightarrow\{OX\}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}\backslash overrightarrow\{OP\}$ ein:

Berechne die Vektordifferenz und dann das Skalarprodukt.

Ist das Skalarprodukt gleich $00$, dann liegt der Punkt $PP$ in der Ebene $EE$. Ist das Skalarprodukt ungleich $00$, dann liegt der Punkt $PP$ nicht in der Ebene $EE$.

Beispiel Punkt $PP$ liegt in der Ebene $EE$ (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung $EE$ und der Punkt $PP$:

und $P(3\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }1)P(3|2|1)$. Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{OX}\backslash overrightarrow\{OX\}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}\backslash overrightarrow\{OP\}$ ein:

Berechne die Vektordifferenz:

Berechne das Skalarprodukt:

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist gleich $00$, d.h. der Punkt $PP$ liegt in der Ebene $EE$.

Beispiel Punkt $PP$ liegt nicht in der Ebene $EE$ (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung $EE$ und der Punkt $PP$:

$E:[\overrightarrow{OX}-\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)=0E:\backslash ;\backslash left[\backslash overrightarrow\{OX\}-\backslash begin\{pmatrix\}-4\backslash \backslash 2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right]\backslash circ\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=0$ und $P(3\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }4)P(3|-2|4)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{OX}\backslash overrightarrow\{OX\}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}\backslash overrightarrow\{OP\}$ ein:

Berechne die Vektordifferenz:

Berechne das Skalarprodukt:

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist ungleich $00$, d.h. der Punkt $PP$ liegt nicht in der Ebene $EE$.

3. Koordinatenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

$E:a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3-d=0E:\backslash ;ax\_1+bx\_2+cx\_3-d=0$

Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes $PP$ in die Koordinatengleichung ein:

Ergibt sich eine wahre Aussage, dann liegt der Punkt $PP$ in der Ebene $EE$.

Ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt $PP$ nicht in der Ebene $EE$.

Beispiel Punkt $PP$ liegt in der Ebene $EE$ (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung $EE$ und der Punkt $PP$:

$E:3x_1-2x_2+4x_3=12E:\backslash ;\; 3x\_1-2x\_2+4x\_3=12$ und $P(4\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }1)P(4|2|1)$

Führe eine Punktprobe durch:

Setze die Koordinaten des Punktes $PP$ in die Koordinatengleichung ein.

$3\cdot 4-2\cdot 2+4\cdot 1123\backslash cdot\; 4-2\backslash cdot\; 2+4\backslash cdot\; 1\backslash stackrel\{?\}\{=\}12$

$12-4+4=12\mathrm{✓}12-4+4=12\; \backslash ;\backslash checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. der Punkt $PP$ liegt in der Ebene $EE$.

Beispiel Punkt $PP$ liegt nicht in der Ebene $EE$ (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung $EE$ und der Punkt $PP$:

$E:3x_1+4x_2-2x_3=8E:\backslash ;\; 3x\_1+4x\_2-2x\_3=8$ und $P(2\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }-1)P(2|-2|-1)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes $PP$ in die Koordinatengleichung ein.

$3\cdot 2+4\cdot (-2)-2\cdot (-1)83\backslash cdot\; 2+4\backslash cdot\; (-2)-2\backslash cdot\; (-1)\backslash stackrel\{?\}\{=\}8$

$6-8+2=0\Rightarrow 0\mathrm{\ne }86-8+2=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\backslash neq8$

Du hast eine falsche Aussage erhalten, d.h. der Punkt $PP$ liegt nicht in der Ebene $EE$.