Aufgaben zur Lage von Punkten

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Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.

Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und Punkt $\mathrm{P}(0|-1|-2)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm P(0\vert-1\vert-2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$
$\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-3\\-2\end{pmatrix}=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(-1)\cdot0+2\cdot(-3)+(-3)\cdot(-2)&=&0\\-6+6&=&0\\0&=&0\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und Punkt $\mathrm P(0\vert1\vert3)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und $\mathrm P(0\vert1\vert3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+9=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot0+(-2)\cdot1+(-3)\cdot3+9&=&0\\-2-9+9&=&0\\-2&=&0\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und Punkt $\mathrm P(2\vert1\vert0)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und $\mathrm P=(2\vert1\vert0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$8\cdot2-1+4\cdot0-15=0$
$16-1-15=0$
$0=0$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und Punkt $\mathrm P(3\vert-1\vert2)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm P(3\vert-1\vert2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$
$\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2\cdot3+(-4)\cdot(-3)+6\cdot2&=&0\\6+12+12&=&0\\30&=&0\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9\;=0$ und Punkt $\mathrm P(-2\vert-1\vert3)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9\;=0$ und $\mathrm P(-2\vert-1\vert3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}+9\;=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot(-2)+(-2)\cdot(-1)+(-3)\cdot3+9\;&=&0\\-2+2-9+9&=&0\\0&=&0\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und Punkt $\mathrm P(2\vert1\vert1)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und $\mathrm P(2\vert1\vert1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}8\cdot2-1+4\cdot1-15&=&0\\16-1+4-15&=&0\\4&=&0\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und Punkt $\mathrm P(0\vert0\vert-3)$ .
- Der Punkt liegt in der Ebene.
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
$\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und $\mathrm P(0\vert0\vert-3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}+9=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(-2)\cdot0+4\cdot0+6\cdot(-3)+9&=&0\\-18+9&=&0\\-9&=&0\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und Punkte $\mathrm{A}(1|2|3)$ , $\mathrm{B}(1|2|2)$ , $\mathrm C(10\vert4\vert13)$ .
- A, B
- A, B, C
- B, C
- A, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für $A$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $A(1|2|3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1+1\cdot2-1\cdot3&=&1\\1+2-3&=&1\\0&=&1\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $B(1|2|2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1+1\cdot2-1\cdot2&=&1\\1+2-2&=&1\\1&=&1\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $C(10|4|13)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot10+1\cdot4-1\cdot13&=&1\\10+4-13&=&1\\1&=&1\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und Punkte $\mathrm{A}(1|1|1)$ , $B(0|1|-1)$ , $\mathrm C(2\vert0\vert0)$ .
- A, C
- A, B
- kein Punkt
- B, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $A(1∣1∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot1+5\cdot1-3\cdot1&=&8\\4+5-3&=&8\\6&=&8\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $B(0∣1∣-1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot0+5\cdot1-3\cdot(-1)&=&8\\0+5+3&=&8\\8&=&8\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $C(2∣0∣0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot2+5\cdot0-3\cdot0&=&8\\8+0-0&=&8\\8&=&8\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und Punkte $\mathrm{A}(-2|3|3)$ , $\mathrm{B}(1|0|0)$ , $\mathrm{C}(8|1|3)$ .
- A
- A, B
- C
- B, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für $A$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $A(-2|3|3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot3-1\cdot3&=&-2\\3-3&=&-2\\0&=&-2\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $B(1|0|0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot0-1\cdot0&=&-2\\0+0&=&-2\\0&=&-2\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $C(8|1|3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1-1\cdot3&=&-2\\1-3&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: Nur der Punkt $C$ liegt in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und Punkte $\mathrm{A}(1|1|1)$ , $\mathrm B(1\vert0\vert1)$ , $\mathrm C(0\vert2\vert1)$ .
- A, B, C
- A, B
- kein Punkt
- C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $A(1∣1∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot1-13\cdot1+7\cdot1&=&22\\18-13+7&=&22\\12&=&22\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $B(1∣0∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot1-13\cdot0+7\cdot1&=&22\\18-0+7&=&22\\25&=&22\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $C(0∣2∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot0-13\cdot2+7\cdot1&=&22\\0-26+7&=&22\\-19&=&22\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und Punkte $\mathrm{A}(-1|1|1)$ , $\mathrm B(-2\vert0\vert0)$ , $\mathrm C(2\vert2\vert4)$ .
- A, B
- B, C
- A, B, C
- kein Punkt
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $A(-1∣1∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot(-1)-1\cdot1&=&-2\\-1-1&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $B(-2∣0∣0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot(-2)-1\cdot0&=&-2\\-2-0&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $C(2∣2∣4)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot2-1\cdot4&=&-2\\2-4&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $A$ , $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und Punkte $\mathrm{A}(4|-1|2)$ , $\mathrm B(10\vert-2\vert1)$ , $\mathrm C(-1\vert-1\vert0)$ .
- A, B
- B, C
- A, C
- C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $A(4∣-1∣2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot4+8\cdot(-1)-5\cdot2&=&-10\\8-8-10&=&-10\\-10&=&-10\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $B(10∣-2∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot10+8\cdot(-2)-5\cdot1&=&-10\\20-16-5&=&-10\\-1&=&-10\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $C(-1∣-1∣0)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot(-1)+8\cdot(-1)-5\cdot0&=&-10\\-2-8-0&=&-10\\-10&=&-10\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
Ergebnis: $A$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und Punkte $\mathrm{A}(0|0{,}5|6)$ , $\mathrm B(0\vert2\vert6)$ , $\mathrm C(2\vert3\vert0{,}5)$ .
- B
- C
- A
- B, C
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $A(0∣0{,}5∣6)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot0+2\cdot0{,}5+5\cdot6&=&31\\0+1+30&=&31\\31&=&31\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $B(0∣2∣6)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot0+2\cdot2+5\cdot6&=&31\\0+4+30&=&31\\34&=&31\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $C(2∣3∣0{,}5)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot2+2\cdot3+5\cdot0{,}5&=&31\\24+6+2{,}5&=&31\\32{,}5&=&31\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Nur der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und Punkte $\mathrm{A}(1|1|1)$ , $\mathrm B(1\vert-2\vert1)$ , $\mathrm C(0\vert0\vert3)$ .
- A, B, C
- A, C
- kein Punkt
- A, B
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
$\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $A(1∣1∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot1-13\cdot1+43\cdot1&=&126\\100-13+43&=&126\\130&=&126\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $B$
$\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $B(1∣-2∣1)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot1-13\cdot(-2)+43\cdot1&=&126\\100+26+43&=&126\\169&=&126\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für $C$
$\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $C(0∣0∣3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot0-13\cdot0+43\cdot3&=&126\\0-0+129&=&126\\129&=&126\end{array}$
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Kein Punkt liegt in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(4\vert3\vert5)$ .
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
- Der Punkt liegt in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:
$\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&3&=&2\cdot r&+&1\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &2&=&1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &4&=&1\cdot r&+&3 \cdot s\end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}:\;1=r$
Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$ folgt: $2=1\cdot 1+1\cdot s\;\Rightarrow\;s=1$
Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;4=1+3=4\;\checkmark$
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=1$ und $s=1$ erhalten.
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ .
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Ebene $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert1)$ .
- Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
- Der Punkt liegt in der Ebene.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:
$\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&0&=&2\cdot r&+&1\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-4&=&1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&1\cdot r&+&3 \cdot s\end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}:\;4=r$
Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$ folgt: $-4=1\cdot 4+1\cdot s\;\Rightarrow\;s=-8$
Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;0=4+3\cdot (-8)=-20\;\Rightarrow\;0\neq-20$
Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ .
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2

Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert4\vert-2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert4\vert-2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
$\displaystyle 2-1\cdot r$ $=$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+r$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle r$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
Für $\mathrm r=1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade erfüllt. Der Punkt liegt also auf der Geraden.
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert-3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert-3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}$
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
$\displaystyle 2-1\cdot r$ $=$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+r$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle r$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
Für $\mathrm r=1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade nicht erfüllt. Die Gleichung ist aber auch für keinen anderen Parameterwert erfüllt, da sich die ${\mathrm x}_1$ -Koordinate für alle anderen Werte von $r$ von der des Punktes unterscheidet. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
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3

Die folgenden Punkte $A$ , $B$ und $C$ sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.

$A(3|-1|5)$ , $B(-2|2|-3)$ und $C(3|4|1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
$\vec{X}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$
Der Aufpunkt ist: $\vec{A}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor ist:
$\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -8 \end{pmatrix}$
$C(3|4|1)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
$\vec{C}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -8 \end{pmatrix}$
Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:
$3=3+ \lambda \cdot (-5) \Rightarrow \lambda = 0$
$4=-1+ \lambda \cdot 3 \Rightarrow \lambda= \frac{5}{3}$
$1=5+ \lambda \cdot (-8) \Rightarrow \lambda= \frac{1}{2}$
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für $\lambda$ . Der Punkt $C$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{AB}$ .
Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.
Alternative Rechnung
Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ Vielfache voneinander sein.
$\overrightarrow{AC}=\vec C-\vec A= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}$
Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors $\overrightarrow{AB}$ ist, da die erste Komponente von $\overrightarrow{AC}$ Null ist und daher $\overrightarrow{AC}$ das Nullfache von $\overrightarrow{AB}$ sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
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Die drei Punkte $A,\;B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$ und prüfe, ob $C\notin g_{AB}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{AB}$ liegen.
$A(1|-2|2)$ , $B(3|0|3)$ und $C(-4|-7|-0{,}5)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
$\vec{X}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$
Der Aufpunkt ist: $\vec{A}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor ist:
$\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$C(-4|-7|-0{,}5)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
$\vec{C}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$-4=1+ \lambda \cdot 2 \Rightarrow \lambda = -2{,}5$
$-7=-2+ \lambda \cdot 2 \Rightarrow \lambda= -2{,}5$
$-0{,}5=2+ \lambda \cdot 1 \Rightarrow \lambda= -2{,}5$
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei gleiche Werte für $\lambda$ . Somit liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $g_{AB}$ . Daraus folgt, dass es sich hierbei nicht um ein Dreieck handelt.
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Die drei Punkte $A,\;B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$ und prüfe, ob $C\notin g_{AB}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{AB}$ liegen.

4

Untersuche, ob die Punkte auf der Geraden liegen.

$g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$ ; $P\left(0 \vert -6 \vert 3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $P$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{P\left(0\left|-6\right|3\right)}$ für $\vec X$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}0\\-6\\3\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&0 & = & 1 & +&r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &-6 &=& -1&+&5r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& 3 &=& 2&-&r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &-1&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&-1&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&r&=&-1&\end{array}$
In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $-1$ .
Antwort: Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$ .
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$g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$ ; $Q\left(-1 \vert 2 \vert -1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $Q$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{Q\left(-1\left|2\right|-1\right)}$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&-1 & = & 1 & +&r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &2 &=& -1&+&5r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& -1 &=& 2&-&r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &-2&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&\frac{3}{5}&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& r &=&3&\end{array}$
Weil $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, kann der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden liegen.
Antwort: Der Punkt $Q$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .
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$g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$ ; $R\left(3|1|2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $R$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{R(3|1|2)}$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&3 & = & -1 & +&4r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &1 &=& 3&-&2r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& 2 &=&-1&+&2r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &1&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&1&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&r&=&\frac{3}{2}&\end{array}$
In den Gleichungen $\mathrm{(I)}$ und $\mathrm{(II)}$ hat zwar $r$ den gleichen Wert $r=1$ , in Gleichung $\mathrm{(III)}$ aber nicht. Hier hat $r$ den Wert $r=\frac{3}{2}$ .
Da $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, liegt der Punkt $R$ nicht auf der Geraden.
Antwort: Der Punkt $R$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .
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$g:\; \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}$ ; $T(-6|9|0)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $T$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{T(-6|9|0)}$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}-6\\9\\0\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&-6 & = & 2 & -&4r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &9 &=& -1&+&5r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& 0 &=& 2&-&r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &2&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&2&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&r&=&2&\end{array}$
In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $2$ .
Antwort: Der Punkt $T$ liegt auf der Geraden $g$ .
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5

Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.

$E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $P\left(-1|2|1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &-1&=&1-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II} &2&=&-3+3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III} &1&=&2+1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Umgeformt ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I'} &-2&=&-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II'} &5&=&3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III'} &-1&=&1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3\cdot\mathrm{I'}+2\cdot\mathrm{II'}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\;3\cdot\mathrm{I'}:&-6&=&-6\cdot r&+&9\cdot s&\\+\;2\cdot\mathrm{II'}: &10&=&+6\cdot r&-&8 \cdot s&\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;=\;\;\;\;\;0\cdot r\;\;\;+\;\;\;1\cdot s\;\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow s=4$

Setze $s=4$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein und du erhältst:

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -2\cdot r+3 \cdot s$
	↓	setze $s=4$ ein
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -2 \cdot r+3\cdot 4$	$\displaystyle +2\cdot r$
$\displaystyle -2+2 \cdot r$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 7$

Mit den Werten $r=7$ und $s=4$ werden die Gleichungen $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III'}$ überprüft.

Für Gleichung $\mathrm{II'}$ erhältst du:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r-4 \cdot s$
	↓	setze $r=7$ und $s=4$ ein
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 3 \cdot 7-4\cdot 4$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 21-16$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 5\; \checkmark$

Für Gleichung $\mathrm{III'}$ erhältst du:

$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot r-2 \cdot s$
	↓	setze $r=7$ und $s=4$ ein
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot7-2\cdot4$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 7-8$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle -1\; \checkmark$

Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.

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$E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $Q\left(2|5|-3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &2&=&1-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II} &5&=&-3+3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III} &-3&=&2+1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Umgeformt ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I'} &1&=&-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II'} &8&=&3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III'} &-5&=&1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3\cdot\mathrm{I'}+2\cdot\mathrm{II'}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\;3\cdot\mathrm{I'}:&3&=&-6\cdot r&+&9\cdot s&\\+\;2\cdot\mathrm{II'}: &16&=&+6\cdot r&-&8 \cdot s&\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;19\;\;\;=\;\;\;\;\;0\cdot r\;\;\;+\;\;\;1\cdot s\;\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow s=19$

Setze $s=19$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein und du erhältst:

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -2\cdot r+3 \cdot s$
	↓	setze $s=19$ ein
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -2\cdot r+3\cdot19$	$\displaystyle +2\cdot r$
$\displaystyle 1+2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 57$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 56$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 28$

Mit den Werten $r=28$ und $s=19$ werden die Gleichungen $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III'}$ überprüft.

Für Gleichung $\mathrm{II'}$ erhältst du:

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r-4 \cdot s$
	↓	setze $r=28$ und $s=19$ ein
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 3\cdot28-4\cdot19$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 84-76$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 8\; \checkmark$

Für Gleichung $\mathrm{III'}$ erhältst du:

$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 1\cdot r-2 \cdot s$
	↓	setze $r=28$ und $s=19$ ein
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 1\cdot28-2\cdot19$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 28-38$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle -10$
	↓	falsche Aussage

Der Punkt Q erfüllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.

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$E:\;\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\vec X-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$ und $P\left(2|-1|2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $P$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$1\cdot 1+(-4)\cdot (-1)+4\cdot0=1+4+0=5\neq 0$
Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
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Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec X$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein.
$E:\;\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\vec X-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$ und $Q\left(1|1|3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $Q$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$1\cdot 0+(-4)\cdot (-1)+4\cdot(-1)=0+4-4=0\;\checkmark$
Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
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Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec X$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $Q$ ein.
$E: 2x_1-4x_2+z-3=0$ und $P\left(1|1|5\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $P\left(1|1|5\right)$ in $2x_1-4x_2+z-3=0$ ein:
$2\cdot 1-4\cdot1+5-3=2-4+5-3=0\;\checkmark$
Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
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Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $P$ in die Ebenengleichung eingesetzt.
$E: 2x_1-4x_2+z-3=0$ und $Q\left(3|1|6\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $Q\left(3|1|6\right)$ in $2x_1-4x_2+z-3=0$ ein:
$2\cdot 3-4\cdot1+6-3=6-4+6-3=5\neq 0$
Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
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Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $Q$ in die Ebenengleichung eingesetzt.

6

Gegeben sind ein Punkt $P_a\left(1|a|-2\right)$ mit $a\in \mathbb{R}$ und eine Ebene

$E:\; -2x_1+3x_2-x_3-3=0$ .

Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P_a$ in der Ebene $E\;$ ?

7

Gegeben sind ein Punkt $P_a\left(2|-1|3a\right)$ mit $a \in \mathbb{R}$ und eine Ebene

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}\circ\left[\vec X-\begin{pmatrix}2\\-3\\4{,}5\end{pmatrix}\right]=0$

Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P_a$ in der Ebene $E$ ?

8

Gegeben sind ein Punkt $P_a\left(a|1-a|2a\right)$ mit $a \in \mathbb{R}$ und eine Ebene

$E:\;\vec X=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Zeige, dass für keinen Wert von $a$ der Punkt $P_a$ in der Ebene $E$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Setze für $\vec X$ den Ortvektor des Punktes $P$ in $E$ ein:

$\begin{pmatrix} a \\ 1-a \\ 2a \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen $r$ und $s$ . Löse das Gleichungssystem nach $r$ bzw. $s$ auf. Dabei sind $r$ und $s$ abhängig von $a$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I)} &a&=&-1+1\cdot r+2 \cdot s\\&\mathrm{(II)} &1-a&=&4+0\cdot r+1 \cdot s \\&\mathrm{(III)} &2a&=&1+2\cdot r+4 \cdot s\end{array}$

Umgeformt erhältst du:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I')} &a+1&=&+1\cdot r+2 \cdot s\\&\mathrm{(II')} &-3-a&=&+0\cdot r+1 \cdot s \\&\mathrm{(III')} &2a-1&=&+2\cdot r+4 \cdot s\end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{(II')}$ folgt: $s=-3-a$

Setze $s=-3-a$ in Gleichung $\mathrm{(I')}$ ein:

$\displaystyle a+1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot r+2\cdot s$
	↓	setze $s=-3-a$ ein
$\displaystyle a+1$	$=$	$\displaystyle r+2\cdot(-3-a)$	$\displaystyle$
$\displaystyle a+1$	$=$	$\displaystyle r-6-2a$	$\displaystyle +2a+6$
	↓	löse nach r auf
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle a+1+2a+6$	$\displaystyle$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 7+3a$

Setze $r=7+3a$ und $s=-3-a$ in Gleichung $\mathrm{(III')}$ ein:

$\displaystyle 2a-1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r+4\cdot s$
	↓	setze $r=7+3a$ und $s=-3-a$ ein
$\displaystyle 2a-1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(7+3a)+4\cdot(-3-a)$	$\displaystyle$
$\displaystyle 2a-1$	$=$	$\displaystyle 14+6a-12-4a$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 2a-1$	$=$	$\displaystyle 2+2a$	$\displaystyle -2a$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	falsche Aussage

Für keinen Wert von $a$ liegt der Punkt $P_a$ in der Ebene $E$ .

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9

Gegeben sind ein Punkt $P_a\left(a^2|a|2\right)$ mit $a \in \mathbb{R}$ und eine Ebene

$E:\;2x_1-6x_2+x_3-10=0$

Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P_a$ in der Ebene $E$ ?

10

Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von den beiden Ebenen

$E_1:\;2x_1+2x_2-x_3=6$ und $E_2:\;-6x_1-9x_2-2x_3=22$ den gleichen Abstand hat.

Tipp: Es gibt sehr viele Punkte dieser Art.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform

Wandle beide Ebenen in die Hessesche Normalenform um:

$E_{HNF1}: \;\dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=0$ $\;\Rightarrow\;E_{HNF1}: \;\dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}=0$

$E_{HNF2}: \;\dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{\sqrt{(-6)^2+(-9)^2+(-2)^2}}=0$ $\;\Rightarrow\;E_{HNF2}: \;\dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}=0$

Für den Abstand eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ von einer Ebene gilt allgemein:

$d(P,E)=\left|\dfrac{a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

Setzt du den Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ in die Hesseschen Normalenformen der beiden Ebenen ein, so erhältst du in beiden Fällen den Abstand $2$ .

Rechnerischer Nachweis:

Für die Ebene $E_1$ folgt:

$\displaystyle d(O,E_1)$	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}\right\|$
	↓	Setze $O(0\|0\|0)$ ein.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{2\cdot 0+2\cdot 0-0-6}{3}\right\|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-6}{3}\right\|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle 2$

Für die Ebene $E_2$ folgt:

$\displaystyle d(O,E_2)$	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}\right\|$
	↓	Setze $O(0\|0\|0)$ ein.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-6\cdot 0-9\cdot 0-2\cdot 0-22}{11}\right\|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-22}{11}\right\|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle 2$

Beide Ebenen haben den Abstand $2$ vom Koordinatenursprung. Also ist $O(0|0|0)$ so ein gesuchter Punkt.

Alternative Lösung:

BeachteAusnahme

Die alternative Lösung funktioniert nur, wenn die beiden Ebenen nicht parallel zueinander sind.

Setze $E_1=E_2$

$\displaystyle \dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}$	$\displaystyle \cdot33$
	↓	Beseitige die Nenner durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
$\displaystyle \dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}\cdot33$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}\cdot 33$
	↓	Kürze und vereinfache.
$\displaystyle 22x_1+22x_2-11x_3-66$	$=$	$\displaystyle -18x_1-27x_2-6x_3-66$	$\displaystyle +18x_1+27x_2+6x_3+66$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 40x_1+49x_2-5x_3$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die Gleichung $40x_1+49x_2-5x_3=0$ erhalten. Jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

Z.B. der Punkt $P(1|0|8)$ erfüllt die gefundene Gleichung:

$\displaystyle 40x_1+49x_2-5x_3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $P(1\|0\|8)$ ein.
$\displaystyle 40\cdot 1+49\cdot 0-5\cdot 8$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 40+0-40$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Setzt du $P(1|0|8)$ in die Gleichung für die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ein, so erhältst du bei beiden Ebenen den Abstand $4$ .

Also ist auch $P(1|0|8)$ so ein gesuchter Punkt.

Anmerkung: Man findet noch viele weitere Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.

Graphische Darstellung mithilfe des Applets

Mit der rechten Maustaste können die Ebenen gedreht werden.

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$\displaystyle 2-1\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1+r$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -2x_1+3x_2-x_3-3$
	↓	setze $x_1=1$ ; $x_2=a$ und $x_3=-2$ ein
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle −2⋅1+3⋅a−1⋅(−2)−3$
	↓	vereinfachen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -2+3a+2-3$
	↓	zusammenfassen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3a-3$	$\displaystyle -3a$
	↓	nach $a$ auflösen
$\displaystyle -3a$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x_1-6x_2+x_3-10$
	↓	setze $x_1=a^2,\;x_2=a$ und $x_3=2$ ein
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\textcolor{ff6600}{a^2} -6\cdot\textcolor{ff6600}{a}+\textcolor{ff6600}{2}-10$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2\cdot a^2 -6\cdot a-8$
	↓	wende die Mitternachtsformel an
$\displaystyle a_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 2\cdot (-8)}}{2\cdot 2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{36+64}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm\sqrt{100}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{6\pm10}{4}$
$\displaystyle a_1$	$=$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle a_2$	$=$	$\displaystyle -1$

Aufgaben zur Lage von Punkten

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Punktprobe für AAA

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Lösung für den Punkt PPP

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Lösung für den Punkt TTT

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Rechnerischer Nachweis:

Alternative Lösung:

Graphische Darstellung mithilfe des Applets

Punktprobe für $A$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $A$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Lösung für den Punkt $P$

Lösung für den Punkt $Q$

Lösung für den Punkt $R$

Lösung für den Punkt $T$