Aufgaben zur Lage von Punkten

Hier findest du Übungsaufgaben zur Lage von Punkten. Untersuche Punkte in ihrer gegenseitigen Lage mit Ebenen, Geraden und anderen Formen!

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Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.
1. Ebene $E : (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und Punkt $P (0 | - 1 | - 2)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und $P (0 | - 1 | - 2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 2 \end{array}) = 0$
  $\begin{array}{rcl} (- 1) \cdot 0 + 2 \cdot (- 3) + (- 3) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 6 + 6 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
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2. Ebene $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und Punkt $P (0 | 1 | 3)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und $P (0 | 1 | 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + 9 = 0$
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 0 + (- 2) \cdot 1 + (- 3) \cdot 3 + 9 & = & 0 \\ - 2 - 9 + 9 & = & 0 \\ - 2 & = & 0 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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3. Ebene $E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und Punkt $P (2 | 1 | 0)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und $P = (2 | 1 | 0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $8 \cdot 2 - 1 + 4 \cdot 0 - 15 = 0$
  $16 - 1 - 15 = 0$
  $0 = 0$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
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4. Ebene $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und Punkt $P (3 | - 1 | 2)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$ und $P (3 | - 1 | 2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] = 0$
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = 0$
  $\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3 + (- 4) \cdot (- 3) + 6 \cdot 2 & = & 0 \\ 6 + 12 + 12 & = & 0 \\ 30 & = & 0 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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5. Ebene $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und Punkt $P (- 2 | - 1 | 3)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und $P (- 2 | - 1 | 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + 9 = 0$
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot (- 2) + (- 2) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 3 + 9 & = & 0 \\ - 2 + 2 - 9 + 9 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
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6. Ebene $E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und Punkt $P (2 | 1 | 1)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : 8 x_{1} - x_{2} + 4 x_{3} - 15 = 0$ und $P (2 | 1 | 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 8 \cdot 2 - 1 + 4 \cdot 1 - 15 & = & 0 \\ 16 - 1 + 4 - 15 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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7. Ebene $E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und Punkt $P (0 | 0 | - 3)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $E : (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}) \circ \vec{x} + 9 = 0$ und $P (0 | 0 | - 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $(\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + 9 = 0$
  $\begin{array}{rcl} (- 2) \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 6 \cdot (- 3) + 9 & = & 0 \\ - 18 + 9 & = & 0 \\ - 9 & = & 0 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
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8. Ebene $E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und Punkte $A (1 | 2 | 3)$ , $B (1 | 2 | 2)$ , $C (10 | 4 | 13)$ .
  A, B
  A, B, C
  B, C
  A, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für $A$
  $E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und $A (1 | 2 | 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 & = & 1 \\ 1 + 2 - 3 & = & 1 \\ 0 & = & 1 \end{array} $
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und $B (1 | 2 | 2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 & = & 1 \\ 1 + 2 - 2 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \end{array} $
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ und $C (10 | 4 | 13)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 10 + 1 \cdot 4 - 1 \cdot 13 & = & 1 \\ 10 + 4 - 13 & = & 1 \\ 1 & = & 1 \end{array} $
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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9. Ebene $E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (0 | 1 | - 1)$ , $C (2 | 0 | 0)$ .
  A, C
  A, B
  kein Punkt
  B, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und $A (1 ∣ 1 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 & = & 8 \\ 4 + 5 - 3 & = & 8 \\ 6 & = & 8 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und $B (0 ∣ 1 ∣ - 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1) & = & 8 \\ 0 + 5 + 3 & = & 8 \\ 8 & = & 8 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : 4 \cdot x_{1} + 5 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 8$ und $C (2 ∣ 0 ∣ 0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 4 \cdot 2 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 & = & 8 \\ 8 + 0 - 0 & = & 8 \\ 8 & = & 8 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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10. Ebene $E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und Punkte $A (- 2 | 3 | 3)$ , $B (1 | 0 | 0)$ , $C (8 | 1 | 3)$ .
  A
  A, B
  C
  B, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für $A$
  $E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und $A (- 2 | 3 | 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 3 - 1 \cdot 3 & = & - 2 \\ 3 - 3 & = & - 2 \\ 0 & = & - 2 \end{array} $
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und $B (1 | 0 | 0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 & = & - 2 \\ 0 + 0 & = & - 2 \\ 0 & = & - 2 \end{array} $
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : x_{2} - x_{3} = - 2$ und $C (8 | 1 | 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 & = & - 2 \\ 1 - 3 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array} $
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: Nur der Punkt $C$ liegt in der Ebene $E$ .
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11. Ebene $E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (1 | 0 | 1)$ , $C (0 | 2 | 1)$ .
  A, B, C
  A, B
  kein Punkt
  C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und $A (1 ∣ 1 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 18 \cdot 1 - 13 \cdot 1 + 7 \cdot 1 & = & 22 \\ 18 - 13 + 7 & = & 22 \\ 12 & = & 22 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und $B (1 ∣ 0 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 18 \cdot 1 - 13 \cdot 0 + 7 \cdot 1 & = & 22 \\ 18 - 0 + 7 & = & 22 \\ 25 & = & 22 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : 18 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 7 \cdot x_{3} = 22$ und $C (0 ∣ 2 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 18 \cdot 0 - 13 \cdot 2 + 7 \cdot 1 & = & 22 \\ 0 - 26 + 7 & = & 22 \\ - 19 & = & 22 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
  Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene $E$ .
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12. Ebene $E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und Punkte $A (- 1 | 1 | 1)$ , $B (- 2 | 0 | 0)$ , $C (2 | 2 | 4)$ .
  A, B
  B, C
  A, B, C
  kein Punkt
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und $A (- 1 ∣ 1 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1 & = & - 2 \\ - 1 - 1 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und $B (- 2 ∣ 0 ∣ 0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot 0 & = & - 2 \\ - 2 - 0 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : x_{1} - x_{3} = - 2$ und $C (2 ∣ 2 ∣ 4)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 4 & = & - 2 \\ 2 - 4 & = & - 2 \\ - 2 & = & - 2 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $A$ , $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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13. Ebene $E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und Punkte $A (4 | - 1 | 2)$ , $B (10 | - 2 | 1)$ , $C (- 1 | - 1 | 0)$ .
  A, B
  B, C
  A, C
  C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und $A (4 ∣ - 1 ∣ 2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 2 \cdot 4 + 8 \cdot (- 1) - 5 \cdot 2 & = & - 10 \\ 8 - 8 - 10 & = & - 10 \\ - 10 & = & - 10 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und $B (10 ∣ - 2 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 2 \cdot 10 + 8 \cdot (- 2) - 5 \cdot 1 & = & - 10 \\ 20 - 16 - 5 & = & - 10 \\ - 1 & = & - 10 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 5 \cdot x_{3} = - 10$ und $C (- 1 ∣ - 1 ∣ 0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 2 \cdot (- 1) + 8 \cdot (- 1) - 5 \cdot 0 & = & - 10 \\ - 2 - 8 - 0 & = & - 10 \\ - 10 & = & - 10 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $A$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
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14. Ebene $E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und Punkte $A (0 | 0,5 | 6)$ , $B (0 | 2 | 6)$ , $C (2 | 3 | 0,5)$ .
  B
  C
  A
  B, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und $A (0 ∣ 0,5 ∣ 6)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 12 \cdot 0 + 2 \cdot 0,5 + 5 \cdot 6 & = & 31 \\ 0 + 1 + 30 & = & 31 \\ 31 & = & 31 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und $B (0 ∣ 2 ∣ 6)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 12 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 6 & = & 31 \\ 0 + 4 + 30 & = & 31 \\ 34 & = & 31 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : 12 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 31$ und $C (2 ∣ 3 ∣ 0,5)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 12 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 0,5 & = & 31 \\ 24 + 6 + 2,5 & = & 31 \\ 32,5 & = & 31 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
  Ergebnis: Nur der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$ .
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15. Ebene $E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und Punkte $A (1 | 1 | 1)$ , $B (1 | - 2 | 1)$ , $C (0 | 0 | 3)$ .
  A, B, C
  A, C
  kein Punkt
  A, B
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und $A (1 ∣ 1 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 100 \cdot 1 - 13 \cdot 1 + 43 \cdot 1 & = & 126 \\ 100 - 13 + 43 & = & 126 \\ 130 & = & 126 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und $B (1 ∣ - 2 ∣ 1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 100 \cdot 1 - 13 \cdot (- 2) + 43 \cdot 1 & = & 126 \\ 100 + 26 + 43 & = & 126 \\ 169 & = & 126 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $E : 100 \cdot x_{1} - 13 \cdot x_{2} + 43 \cdot x_{3} = 126$ und $C (0 ∣ 0 ∣ 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{array}{rcl} 100 \cdot 0 - 13 \cdot 0 + 43 \cdot 3 & = & 126 \\ 0 - 0 + 129 & = & 126 \\ 129 & = & 126 \end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
  Ergebnis: Kein Punkt liegt in der Ebene $E$ .
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16. Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und Punkt $P (4 | 3 | 5)$ .
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Führe eine Punktprobe durch:
  Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:
  $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
  Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
  $\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 3 & = & 2 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I) : & 2 & = & 1 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I I) : & 4 & = & 1 \cdot r & + & 3 \cdot s \end{array}$
  Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
  Rechne z.B. $(I) - (I I) : 1 = r$
  Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot s \Rightarrow s = 1$
  Probe in Gleichung $(I I I) : 4 = 1 + 3 = 4 ✓$
  Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r = 1$ und $s = 1$ erhalten.
  Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ .
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17. Ebene $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und Punkt $P (1 | - 3 | 1)$ .
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Führe eine Punktprobe durch:
  Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$
  Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
  $\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 0 & = & 2 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I) : & - 4 & = & 1 \cdot r & + & 1 \cdot s \\ (I I I) : & 0 & = & 1 \cdot r & + & 3 \cdot s \end{array}$
  Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
  Rechne z.B. $(I) - (I I) : 4 = r$
  Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $- 4 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot s \Rightarrow s = - 8$
  Probe in Gleichung $(I I I) : 0 = 4 + 3 \cdot (- 8) = - 20 \Rightarrow 0 \neq - 20$
  Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
  Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ .
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2
Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.
1. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | 4 | - 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | 4 | - 2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
  von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
  $2 - 1 \cdot r$ $=$ $1$ $+ r$
  $2$ $=$ $1 + r$ $- 1$
  $r$ $=$ $1$
  Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Für $r = 1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade erfüllt. Der Punkt liegt also auf der Geraden.
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2. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | - 3 | - 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und Punkt $P (1 | - 3 | - 3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
  von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{array})$
  Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
  $2 - 1 \cdot r$ $=$ $1$ $+ r$
  $2$ $=$ $1 + r$ $- 1$
  $r$ $=$ $1$
  Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Für $r = 1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade nicht erfüllt. Die Gleichung ist aber auch für keinen anderen Parameterwert erfüllt, da sich die $x_{1}$ -Koordinate für alle anderen Werte von $r$ von der des Punktes unterscheidet. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
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3
Die folgenden Punkte $A$ , $B$ und $C$ sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.
1. $A (3 | - 1 | 5)$ , $B (- 2 | 2 | - 3)$ und $C (3 | 4 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Die Formel für die Geradengleichung lautet:
  $\vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B}$
  Der Aufpunkt ist: $\vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array})$
  Der Richtungsvektor ist:
  $\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ - 8 \end{array})$
  $C (3 | 4 | 1)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
  $\vec{C} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 3 \\ - 8 \end{array})$
  Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:
  $3 = 3 + λ \cdot (- 5) \Rightarrow λ = 0$
  $4 = - 1 + λ \cdot 3 \Rightarrow λ = \frac{5}{3}$
  $1 = 5 + λ \cdot (- 8) \Rightarrow λ = \frac{1}{2}$
  Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für $λ$ . Der Punkt $C$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{A B}$ .
  Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.
  Alternative Rechnung
  Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ Vielfache voneinander sein.
  $\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ - 4 \end{array})$
  Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors $\vec{A B}$ ist, da die erste Komponente von $\vec{A C}$ Null ist und daher $\vec{A C}$ das Nullfache von $\vec{A B}$ sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
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  Die drei Punkte $A, B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ und prüfe, ob $C \notin g_{A B}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{A B}$ liegen.
2. $A (1 | - 2 | 2)$ , $B (3 | 0 | 3)$ und $C (- 4 | - 7 | - 0,5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Die Formel für die Geradengleichung lautet:
  $\vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B}$
  Der Aufpunkt ist: $\vec{A} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Der Richtungsvektor ist:
  $\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  $C (- 4 | - 7 | - 0,5)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
  $\vec{C} = \vec{A} + λ \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  $- 4 = 1 + λ \cdot 2 \Rightarrow λ = - 2,5$
  $- 7 = - 2 + λ \cdot 2 \Rightarrow λ = - 2,5$
  $- 0,5 = 2 + λ \cdot 1 \Rightarrow λ = - 2,5$
  Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei gleiche Werte für $λ$ . Somit liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $g_{A B}$ . Daraus folgt, dass es sich hierbei nicht um ein Dreieck handelt.
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  Die drei Punkte $A, B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ und prüfe, ob $C \notin g_{A B}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{A B}$ liegen.
4
Untersuche, ob die Punkte auf der Geraden liegen.
1. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$ ; $P (0 | - 6 | 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
  Lösung für den Punkt $P$
  Setze den Punkt $P (0 | - 6 | 3)$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
  $(\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$
  Damit erhältst du drei Gleichungen:
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & 0 & = & 1 & + & r \\ (I I) : & - 6 & = & - 1 & + & 5 r \\ (I I I) : & 3 & = & 2 & - & r \end{array}$
  Berechne die Werte von $r$ :
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & r & = & - 1 \\ (I I) : & r & = & - 1 \\ (I I I) : & r & = & - 1 \end{array}$
  In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $- 1$ .
  Antwort: Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$ .
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2. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$ ; $Q (- 1 | 2 | - 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
  Lösung für den Punkt $Q$
  Setze den Punkt $Q (- 1 | 2 | - 1)$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$
  Damit erhältst du drei Gleichungen:
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & - 1 & = & 1 & + & r \\ (I I) : & 2 & = & - 1 & + & 5 r \\ (I I I) : & - 1 & = & 2 & - & r \end{array}$
  Berechne die Werte von $r$ :
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & r & = & - 2 \\ (I I) : & r & = & \frac{3}{5} \\ (I I I) : & r & = & 3 \end{array}$
  Weil $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, kann der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden liegen.
  Antwort: Der Punkt $Q$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .
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3. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ ; $R (3 | 1 | 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
  Lösung für den Punkt $R$
  Setze den Punkt $R (3 | 1 | 2)$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
  $(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Damit erhältst du drei Gleichungen:
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & 3 & = & - 1 & + & 4 r \\ (I I) : & 1 & = & 3 & - & 2 r \\ (I I I) : & 2 & = & - 1 & + & 2 r \end{array}$
  Berechne die Werte von $r$ :
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & r & = & 1 \\ (I I) : & r & = & 1 \\ (I I I) : & r & = & \frac{3}{2} \end{array}$
  In den Gleichungen $(I)$ und $(I I)$ hat zwar $r$ den gleichen Wert $r = 1$ , in Gleichung $(I I I)$ aber nicht. Hier hat $r$ den Wert $r = \frac{3}{2}$ .
  Da $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, liegt der Punkt $R$ nicht auf der Geraden.
  Antwort: Der Punkt $R$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .
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4. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$ ; $T (- 6 | 9 | 0)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
  Lösung für den Punkt $T$
  Setze den Punkt $T (- 6 | 9 | 0)$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
  $(\begin{array}{c} - 6 \\ 9 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 5 \\ - 1 \end{array})$
  Damit erhältst du drei Gleichungen:
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & - 6 & = & 2 & - & 4 r \\ (I I) : & 9 & = & - 1 & + & 5 r \\ (I I I) : & 0 & = & 2 & - & r \end{array}$
  Berechne die Werte von $r$ :
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : & r & = & 2 \\ (I I) : & r & = & 2 \\ (I I I) : & r & = & 2 \end{array}$
  In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $2$ .
  Antwort: Der Punkt $T$ liegt auf der Geraden $g$ .
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5
Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.
1. $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$ und $P (- 1 | 2 | 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$
  So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
  $\begin{array}{llcr} I & - 1 & = & 1 - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ II & 2 & = & - 3 + 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ III & 1 & = & 2 + 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
  Umgeformt ergibt sich:
  $\begin{array}{llcr} I^{'} & - 2 & = & - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ I I^{'} & 5 & = & 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ I I I^{'} & - 1 & = & 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
  Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3 \cdot I^{'} + 2 \cdot I I^{'}$
  $\begin{array}{cccccccl} 3 \cdot I^{'} : & - 6 & = & - 6 \cdot r & + & 9 \cdot s \\ + 2 \cdot I I^{'} : & 10 & = & + 6 \cdot r & - & 8 \cdot s \end{array}$
  $4 = 0 \cdot r + 1 \cdot s \Rightarrow s = 4$
  Setze $s = 4$ in Gleichung $I^{'}$ ein und du erhältst:
  $- 2$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
  ↓
  setze $s = 4$ ein
  $- 2$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot 4$ $+ 2 \cdot r$
  $- 2 + 2 \cdot r$ $=$ $12$ $+ 2$
  $2 \cdot r$ $=$ $14$ $: 2$
  $r$ $=$ $7$
  Mit den Werten $r = 7$ und $s = 4$ werden die Gleichungen $I I^{'}$ und $I I I^{'}$ überprüft.
  Für Gleichung $I I^{'}$ erhältst du:
  $5$ $=$ $3 \cdot r - 4 \cdot s$
  ↓
  setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
  $5$ $=$ $3 \cdot 7 - 4 \cdot 4$
  $5$ $=$ $21 - 16$
  $5$ $=$ $5 ✓$
  Für Gleichung $I I I^{'}$ erhältst du:
  $- 1$ $=$ $1 \cdot r - 2 \cdot s$
  ↓
  setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
  $- 1$ $=$ $1 \cdot 7 - 2 \cdot 4$
  $- 1$ $=$ $7 - 8$
  $- 1$ $=$ $- 1 ✓$
  Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.
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  Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $P$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein).
2. $E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$ und $Q (2 | 5 | - 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 2 \end{array})$
  So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
  $\begin{array}{llcr} I & 2 & = & 1 - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ II & 5 & = & - 3 + 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ III & - 3 & = & 2 + 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
  Umgeformt ergibt sich:
  $\begin{array}{llcr} I^{'} & 1 & = & - 2 \cdot r + 3 \cdot s \\ I I^{'} & 8 & = & 3 \cdot r - 4 \cdot s \\ I I I^{'} & - 5 & = & 1 \cdot r - 2 \cdot s \end{array}$
  Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3 \cdot I^{'} + 2 \cdot I I^{'}$
  $\begin{array}{cccccccl} 3 \cdot I^{'} : & 3 & = & - 6 \cdot r & + & 9 \cdot s \\ + 2 \cdot I I^{'} : & 16 & = & + 6 \cdot r & - & 8 \cdot s \end{array}$
  $19 = 0 \cdot r + 1 \cdot s \Rightarrow s = 19$
  Setze $s = 19$ in Gleichung $I^{'}$ ein und du erhältst:
  $1$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
  ↓
  setze $s = 19$ ein
  $1$ $=$ $- 2 \cdot r + 3 \cdot 19$ $+ 2 \cdot r$
  $1 + 2 \cdot r$ $=$ $57$ $- 1$
  $2 \cdot r$ $=$ $56$ $: 2$
  $r$ $=$ $28$
  Mit den Werten $r = 28$ und $s = 19$ werden die Gleichungen $I I^{'}$ und $I I I^{'}$ überprüft.
  Für Gleichung $I I^{'}$ erhältst du:
  $8$ $=$ $3 \cdot r - 4 \cdot s$
  ↓
  setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
  $8$ $=$ $3 \cdot 28 - 4 \cdot 19$
  $8$ $=$ $84 - 76$
  $8$ $=$ $8 ✓$
  Für Gleichung $I I I^{'}$ erhältst du:
  $- 5$ $=$ $1 \cdot r - 2 \cdot s$
  ↓
  setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
  $- 5$ $=$ $1 \cdot 28 - 2 \cdot 19$
  $- 5$ $=$ $28 - 38$
  $- 5$ $=$ $- 10$
  ↓
  falsche Aussage
  Der Punkt Q erfüllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.
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  Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $Q$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $Q$ ein).
3. $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$ und $P (2 | - 1 | 2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Der Ortvektor des Punktes $P$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$
  Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) = 0$
  Berechne das Skalarprodukt:
  $1 \cdot 1 + (- 4) \cdot (- 1) + 4 \cdot 0 = 1 + 4 + 0 = 5 \neq 0$
  Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
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  Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein.
4. $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$ und $Q (1 | 1 | 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Der Ortvektor des Punktes $Q$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array})] = 0$
  Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = 0$
  Berechne das Skalarprodukt:
  $1 \cdot 0 + (- 4) \cdot (- 1) + 4 \cdot (- 1) = 0 + 4 - 4 = 0 ✓$
  Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
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  Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $Q$ ein.
5. $E : 2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ und $P (1 | 1 | 5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Setze $P (1 | 1 | 5)$ in $2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ ein:
  $2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 5 - 3 = 2 - 4 + 5 - 3 = 0 ✓$
  Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
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  Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $P$ in die Ebenengleichung eingesetzt.
6. $E : 2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ und $Q (3 | 1 | 6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Setze $Q (3 | 1 | 6)$ in $2 x_{1} - 4 x_{2} + z - 3 = 0$ ein:
  $2 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 6 - 3 = 6 - 4 + 6 - 3 = 5 \neq 0$
  Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
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  Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $Q$ in die Ebenengleichung eingesetzt.

Gegeben sind ein Punkt $P_{a} (1 | a | - 2)$ mit $a \in ℝ$ und eine Ebene

$E : - 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - 3 = 0$ .

Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P_{a}$ in der Ebene $E$ ?

7
Gegeben sind ein Punkt $P_{a} (2 | - 1 | 3 a)$ mit $a \in ℝ$ und eine Ebene
$E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 4,5 \end{array})] = 0$
Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P_{a}$ in der Ebene $E$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $P_{a} (2 | - 1 | 3 a)$ für den Vektor $\vec{X}$ in $E : (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 4,5 \end{array})] = 0$ ein:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 a \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 4,5 \end{array})] = 0$
Bilde die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer und berechne das Skalarprodukt:
$(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 a - 4,5 \end{array}) = 0 \Rightarrow 1 \cdot 0 + (- 3) \cdot 2 + 4 \cdot (3 a - 4,5) = 0$
Löse die Klammer auf und fasse zusammen:
$- 6 + 12 a - 18 = 0 \Rightarrow 12 a - 24 = 0 \Rightarrow a = 2$
Für $a = 2$ liegt der Punkt $P_{2} (2 | - 1 | 6)$ in der Ebene $E$ .
Erfüllt ein Punkt $P$ die Ebenengleichung $E$ , dann liegt er in der Ebene. Der Punkt $P$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
8
Gegeben sind ein Punkt $P_{a} (a | 1 - a | 2 a)$ mit $a \in ℝ$ und eine Ebene
$E : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$
Zeige, dass für keinen Wert von $a$ der Punkt $P_{a}$ in der Ebene $E$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze für $\vec{X}$ den Ortvektor des Punktes $P$ in $E$ ein:
$(\begin{array}{c} a \\ 1 - a \\ 2 a \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array})$
Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen $r$ und $s$ . Löse das Gleichungssystem nach $r$ bzw. $s$ auf. Dabei sind $r$ und $s$ abhängig von $a$ .
$\begin{array}{llcr} (I) & a & = & - 1 + 1 \cdot r + 2 \cdot s \\ (I I) & 1 - a & = & 4 + 0 \cdot r + 1 \cdot s \\ (I I I) & 2 a & = & 1 + 2 \cdot r + 4 \cdot s \end{array}$
Umgeformt erhältst du:
$\begin{array}{llcr} (I^{'}) & a + 1 & = & + 1 \cdot r + 2 \cdot s \\ (I I^{'}) & - 3 - a & = & + 0 \cdot r + 1 \cdot s \\ (I I I^{'}) & 2 a - 1 & = & + 2 \cdot r + 4 \cdot s \end{array}$
Aus Gleichung $(I I^{'})$ folgt: $s = - 3 - a$
Setze $s = - 3 - a$ in Gleichung $(I^{'})$ ein:
$a + 1$ $=$ $1 \cdot r + 2 \cdot s$
↓
setze $s = - 3 - a$ ein
$a + 1$ $=$ $r + 2 \cdot (- 3 - a)$
$a + 1$ $=$ $r - 6 - 2 a$ $+ 2 a + 6$
↓
löse nach r auf
$r$ $=$ $a + 1 + 2 a + 6$
↓
fasse zusammen
$r$ $=$ $7 + 3 a$
Setze $r = 7 + 3 a$ und $s = - 3 - a$ in Gleichung $(I I I^{'})$ ein:
$2 a - 1$ $=$ $2 \cdot r + 4 \cdot s$
↓
setze $r = 7 + 3 a$ und $s = - 3 - a$ ein
$2 a - 1$ $=$ $2 \cdot (7 + 3 a) + 4 \cdot (- 3 - a)$
$2 a - 1$ $=$ $14 + 6 a - 12 - 4 a$
↓
fasse zusammen
$2 a - 1$ $=$ $2 + 2 a$ $- 2 a$
$- 1$ $=$ $2$
↓
falsche Aussage
Für keinen Wert von $a$ liegt der Punkt $P_{a}$ in der Ebene $E$ .

Erfüllt ein Punkt $P_{a}$ die Ebenengleichung $E$ , dann liegt er in der Ebene. Setze für den Vektor $\vec{X}$ der Ebene den Ortsvektor des Punktes $P_{a}$ ein. Das Gleichungssystem wird nach den Parametern $r$ und $s$ aufgelöst.
9
Gegeben sind ein Punkt $P_{a} (a^{2} | a | 2)$ mit $a \in ℝ$ und eine Ebene
$E : 2 x_{1} - 6 x_{2} + x_{3} - 10 = 0$
Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P_{a}$ in der Ebene $E$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $P_{a} (a^{2} | a | 2)$ in $E : 2 x_{1} - 6 x_{2} + x_{3} - 10 = 0$ ein:
$0$ $=$ $2 x_{1} - 6 x_{2} + x_{3} - 10$
↓
setze $x_{1} = a^{2}, x_{2} = a$ und $x_{3} = 2$ ein
$0$ $=$ $2 \cdot a^{2} - 6 \cdot a + 2 - 10$
$0$ $=$ $2 \cdot a^{2} - 6 \cdot a - 8$
↓
wende die Mitternachtsformel an
$a_{1 / 2}$ $=$ $\frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{4}$
$=$ $\frac{6 \pm \sqrt{100}}{4}$
$=$ $\frac{6 \pm 10}{4}$
$a_{1}$ $=$ $4$
$a_{2}$ $=$ $- 1$
Für $a = 4$ bzw. $a = - 1$ liegen die beiden Punkte $P_{4} (16 | 4 | 2)$ und $P_{- 1} (1 | - 1 | 2)$ in der Ebene $E$ .
Erfüllt ein Punkt $P_{a}$ die Ebenengleichung $E$ , dann liegt er in der Ebene. Setze den Punkt $P_{a}$ in die Ebene ein.

Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von den beiden Ebenen

$E_{1} : 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 6$ und $E_{2} : - 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} = 22$ den gleichen Abstand hat.

Tipp: Es gibt sehr viele Punkte dieser Art.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform

Wandle beide Ebenen in die Hessesche Normalenform um:

$E_{H N F 1} : \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 0$ $\Rightarrow E_{H N F 1} : \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3} = 0$

$E_{H N F 2} : \frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{\sqrt{(- 6)^{2} + (- 9)^{2} + (- 2)^{2}}} = 0$ $\Rightarrow E_{H N F 2} : \frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11} = 0$

Für den Abstand eines Punktes $P (p_{1} | p_{2} | p_{3})$ von einer Ebene gilt allgemein:

$d (P, E) = | \frac{a \cdot p_{1} + b \cdot p_{2} + c \cdot p_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} |$

Setzt du den Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$ in die Hesseschen Normalenformen der beiden Ebenen ein, so erhältst du in beiden Fällen den Abstand $2$ .

Rechnerischer Nachweis:

Für die Ebene $E_{1}$ folgt:

$d (O, E_{1})$	$=$	$\| \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3} \|$
	↓	Setze $O (0 \| 0 \| 0)$ ein.
	$=$	$\| \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0 - 6}{3} \|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\| \frac{- 6}{3} \|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$2$

Für die Ebene $E_{2}$ folgt:

$d (O, E_{2})$	$=$	$\| \frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11} \|$
	↓	Setze $O (0 \| 0 \| 0)$ ein.
	$=$	$\| \frac{- 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 22}{11} \|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\| \frac{- 22}{11} \|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$2$

Beide Ebenen haben den Abstand $2$ vom Koordinatenursprung. Also ist $O (0 | 0 | 0)$ so ein gesuchter Punkt.

Alternative Lösung:

BeachteAusnahme

Die alternative Lösung funktioniert nur, wenn die beiden Ebenen nicht parallel zueinander sind.

Setze $E_{1} = E_{2}$

$\frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3}$	$=$	$\frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11}$	$\cdot 33$
	↓	Beseitige die Nenner durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
$\frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3} \cdot 33$	$=$	$\frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11} \cdot 33$
	↓	Kürze und vereinfache.
$22 x_{1} + 22 x_{2} - 11 x_{3} - 66$	$=$	$- 18 x_{1} - 27 x_{2} - 6 x_{3} - 66$	$+ 18 x_{1} + 27 x_{2} + 6 x_{3} + 66$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3}$	$=$	$0$

Du hast die Gleichung $40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3} = 0$ erhalten. Jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

Z.B. der Punkt $P (1 | 0 | 8)$ erfüllt die gefundene Gleichung:

$40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3}$	$=$	$0$
	↓	Setze $P (1 \| 0 \| 8)$ ein.
$40 \cdot 1 + 49 \cdot 0 - 5 \cdot 8$	$=$	$0$
$40 + 0 - 40$	$=$	$0$
$0$	$=$	$0 ✓$

Setzt du $P (1 | 0 | 8)$ in die Gleichung für die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ein, so erhältst du bei beiden Ebenen den Abstand $4$ .

Also ist auch $P (1 | 0 | 8)$ so ein gesuchter Punkt.

Anmerkung: Man findet noch viele weitere Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.

Graphische Darstellung mithilfe des Applets

Mit der rechten Maustaste können die Ebenen gedreht werden.

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$- 2$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
	↓	setze $s = 4$ ein
$- 2$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot 4$	$+ 2 \cdot r$
$- 2 + 2 \cdot r$	$=$	$12$	$+ 2$
$2 \cdot r$	$=$	$14$	$: 2$
$r$	$=$	$7$

$5$	$=$	$3 \cdot r - 4 \cdot s$
	↓	setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
$5$	$=$	$3 \cdot 7 - 4 \cdot 4$
$5$	$=$	$21 - 16$
$5$	$=$	$5 ✓$

$- 1$	$=$	$1 \cdot r - 2 \cdot s$
	↓	setze $r = 7$ und $s = 4$ ein
$- 1$	$=$	$1 \cdot 7 - 2 \cdot 4$
$- 1$	$=$	$7 - 8$
$- 1$	$=$	$- 1 ✓$

$1$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot s$
	↓	setze $s = 19$ ein
$1$	$=$	$- 2 \cdot r + 3 \cdot 19$	$+ 2 \cdot r$
$1 + 2 \cdot r$	$=$	$57$	$- 1$
$2 \cdot r$	$=$	$56$	$: 2$
$r$	$=$	$28$

$8$	$=$	$3 \cdot r - 4 \cdot s$
	↓	setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
$8$	$=$	$3 \cdot 28 - 4 \cdot 19$
$8$	$=$	$84 - 76$
$8$	$=$	$8 ✓$

$- 5$	$=$	$1 \cdot r - 2 \cdot s$
	↓	setze $r = 28$ und $s = 19$ ein
$- 5$	$=$	$1 \cdot 28 - 2 \cdot 19$
$- 5$	$=$	$28 - 38$
$- 5$	$=$	$- 10$
	↓	falsche Aussage

$0$	$=$	$- 2 x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} - 3$
	↓	setze $x_{1} = 1$ ; $x_{2} = a$ und $x_{3} = - 2$ ein
$0$	$=$	$- 2 \cdot 1 + 3 \cdot a - 1 \cdot (- 2) - 3$
	↓	vereinfachen
$0$	$=$	$ - 2 + 3 a + 2 - 3$
	↓	zusammenfassen
$0$	$=$	$ 3 a - 3$	$- 3 a$
	↓	nach $a$ auflösen
$- 3 a$	$=$	$- 3$	$: (- 3)$
$a$	$=$	$1$

$a + 1$	$=$	$1 \cdot r + 2 \cdot s$
	↓	setze $s = - 3 - a$ ein
$a + 1$	$=$	$r + 2 \cdot (- 3 - a)$
$a + 1$	$=$	$r - 6 - 2 a$	$+ 2 a + 6$
	↓	löse nach r auf
$r$	$=$	$a + 1 + 2 a + 6$
	↓	fasse zusammen
$r$	$=$	$7 + 3 a$

$2 a - 1$	$=$	$2 \cdot r + 4 \cdot s$
	↓	setze $r = 7 + 3 a$ und $s = - 3 - a$ ein
$2 a - 1$	$=$	$2 \cdot (7 + 3 a) + 4 \cdot (- 3 - a)$
$2 a - 1$	$=$	$14 + 6 a - 12 - 4 a$
	↓	fasse zusammen
$2 a - 1$	$=$	$2 + 2 a$	$- 2 a$
$- 1$	$=$	$2$
	↓	falsche Aussage

$0$	$=$	$2 x_{1} - 6 x_{2} + x_{3} - 10$
	↓	setze $x_{1} = a^{2}, x_{2} = a$ und $x_{3} = 2$ ein
$0$	$=$	$2 \cdot a^{2} - 6 \cdot a + 2 - 10$
$0$	$=$	$2 \cdot a^{2} - 6 \cdot a - 8$
	↓	wende die Mitternachtsformel an
$a_{1 / 2}$	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{4}$
	$=$	$\frac{6 \pm \sqrt{100}}{4}$
	$=$	$\frac{6 \pm 10}{4}$
$a_{1}$	$=$	$4$
$a_{2}$	$=$	$- 1$

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