Setze für $\overrightarrow{X}$ den Ortvektor des Punktes $P$ in $E$ ein:

$\left(\begin{array}{c}a\\ 1-a\\ 2a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)$

Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen $r$ und $s$. Löse das Gleichungssystem nach $r$ bzw. $s$ auf. Dabei sind $r$ und $s$ abhängig von $a$.

$\begin{array}{llcrr}& (\mathrm{I})& a& =& -1+1\cdot r+2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I})& 1-a& =& 4+0\cdot r+1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})& 2a& =& 1+2\cdot r+4\cdot s\end{array}$

Umgeformt erhältst du:

$\begin{array}{llcrr}& ({\mathrm{I}}^{\prime })& a+1& =& +1\cdot r+2\cdot s\\ & (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })& -3-a& =& +0\cdot r+1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })& 2a-1& =& +2\cdot r+4\cdot s\end{array}$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ folgt: $s=-3-a$

Setze $s=-3-a$ in Gleichung $({\mathrm{I}}^{\prime })$ ein:

Setze $r=7+3a$ und $s=-3-a$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ ein:

Für keinen Wert von $a$ liegt der Punkt $P_a$ in der Ebene $E$.