Gegeben sind ein Punkt Pa(a∣1−a∣2a) mit a∈R und eine Ebene
E:X=−141+r⋅102+s⋅214
Zeige, dass für keinen Wert von a der Punkt Pa in der Ebene E liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze für X den Ortvektor des Punktes P in E ein:
a1−a2a=−141+r⋅102+s⋅214
Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen r und s. Löse das Gleichungssystem nach r bzw. s auf. Dabei sind r und s abhängig von a.
(I)(II)(III)a1−a2a===−1+1⋅r+2⋅s4+0⋅r+1⋅s1+2⋅r+4⋅s
Umgeformt erhältst du:
(I′)(II′)(III′)a+1−3−a2a−1===+1⋅r+2⋅s+0⋅r+1⋅s+2⋅r+4⋅s
Aus Gleichung (II′) folgt: s=−3−a
Setze s=−3−a in Gleichung (I′) ein:
| a+1 | = | 1⋅r+2⋅s | |
| ↓ | setze s=−3−a ein | ||
| a+1 | = | r+2⋅(−3−a) | |
| a+1 | = | r−6−2a | +2a+6 |
| ↓ | löse nach r auf | ||
| r | = | a+1+2a+6 | |
| ↓ | fasse zusammen | ||
| r | = | 7+3a | |
Setze r=7+3a und s=−3−a in Gleichung (III′) ein:
| 2a−1 | = | 2⋅r+4⋅s | |
| ↓ | setze r=7+3a und s=−3−a ein | ||
| 2a−1 | = | 2⋅(7+3a)+4⋅(−3−a) | |
| 2a−1 | = | 14+6a−12−4a | |
| ↓ | fasse zusammen | ||
| 2a−1 | = | 2+2a | −2a |
| −1 | = | 2 | |
| ↓ | falsche Aussage | ||
Für keinen Wert von a liegt der Punkt Pa in der Ebene E.
Erfüllt ein Punkt Pa die Ebenengleichung E, dann liegt er in der Ebene. Setze für den Vektor X der Ebene den Ortsvektor des Punktes Pa ein. Das Gleichungssystem wird nach den Parametern r und s aufgelöst.
