Setze für $\vec{X}\backslash vec\; X$ den Ortvektor des Punktes $PP$ in $EE$ ein:

$\left(\begin{array}{c}a\\ 1-a\\ 2a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; a\; \backslash \backslash \; 1-a\; \backslash \backslash \; 2a\; \backslash end\{pmatrix\}=\; \backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash 0\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}+s\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash 1\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{pmatrix\}$

Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen $rr$ und $ss$. Löse das Gleichungssystem nach $rr$ bzw. $ss$ auf. Dabei sind $rr$ und $ss$ abhängig von $aa$.

Umgeformt erhältst du:

Aus Gleichung $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }})\backslash mathrm\{(II\text{'})\}$ folgt: $s=-3-as=-3-a$

Setze $s=-3-as=-3-a$ in Gleichung $({\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }})\backslash mathrm\{(I\text{'})\}$ ein:

Setze $r=7+3ar=7+3a$ und $s=-3-as=-3-a$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }})\backslash mathrm\{(III\text{'})\}$ ein:

Für keinen Wert von $aa$ liegt der Punkt $P_{a}P\_a$ in der Ebene $EE$.