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Aufgaben zur Lage von Punkten

Hier findest du Übungsaufgaben zur Lage von Punkten. Untersuche Punkte in ihrer gegenseitigen Lage mit Ebenen, Geraden und anderen Formen!

  1. 1

    Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.

    1. Ebene  E:  (−12−3)∘[x→−(020)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0  und Punkt  P(0∣−1∣−2)\mathrm{P}(0|-1|-2).

    2. Ebene  E:  (1−2−3)∘x→+9=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0  und Punkt  P(0∣1∣3)\mathrm P(0\vert1\vert3).

    3. Ebene  E:  8x1−x2+4x3−15=0\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0  und Punkt  P(2∣1∣0)\mathrm P(2\vert1\vert0).

    4. Ebene  E:  (2−46)∘[x→−(020)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0  und Punkt  P(3∣−1∣2)\mathrm P(3\vert-1\vert2) .

    5. Ebene  E:  (1−2−3)∘x→+9  =0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9\;=0  und Punkt  P(−2∣−1∣3)\mathrm P(-2\vert-1\vert3).

    6. Ebene  E:  8x1−x2+4x3−15=0\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0  und Punkt  P(2∣1∣1)\mathrm P(2\vert1\vert1).

    7. Ebene  E:  (−246)∘x→+9=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0  und Punkt  P(0∣0∣−3)\mathrm P(0\vert0\vert-3) .

    8. Ebene  E:  x1+x2−x3=1\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1  und Punkte  A(1∣2∣3)\mathrm{A}(1|2|3),  B(1∣2∣2)\mathrm{B}(1|2|2),  C(10∣4∣13)\mathrm C(10\vert4\vert13).

    9. Ebene  E:  4⋅x1+5⋅x2−3⋅x3=8\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8  und Punkte  A(1∣1∣1)\mathrm{A}(1|1|1),  B(0∣1∣−1)B(0|1|-1),  C(2∣0∣0)\mathrm C(2\vert0\vert0).

    10. Ebene  E:  x2−x3=−2\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2  und Punkte  A(−2∣3∣3)\mathrm{A}(-2|3|3),  B(1∣0∣0)\mathrm{B}(1|0|0),  C(8∣1∣3)\mathrm{C}(8|1|3).

    11. Ebene  E:  18⋅x1−13⋅x2+7⋅x3=22\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22  und Punkte  A(1∣1∣1)\mathrm{A}(1|1|1),  B(1∣0∣1)\mathrm B(1\vert0\vert1),  C(0∣2∣1)\mathrm C(0\vert2\vert1).

    12. Ebene  E:  x1−x3=−2\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2  und Punkte  A(−1∣1∣1)\mathrm{A}(-1|1|1),  B(−2∣0∣0)\mathrm B(-2\vert0\vert0),  C(2∣2∣4)\mathrm C(2\vert2\vert4).

    13. Ebene  E:  2⋅x1+8⋅x2−5⋅x3=−10\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10  und Punkte  A(4∣−1∣2)\mathrm{A}(4|-1|2),  B(10∣−2∣1)\mathrm B(10\vert-2\vert1),  C(−1∣−1∣0)\mathrm C(-1\vert-1\vert0).

    14. Ebene  E:  12⋅x1+2⋅x2+5⋅x3=31\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31  und Punkte  A(0∣0,5∣6)\mathrm{A}(0|0{,}5|6),  B(0∣2∣6)\mathrm B(0\vert2\vert6),  C(2∣3∣0,5)\mathrm C(2\vert3\vert0{,}5).

    15. Ebene  E:  100⋅x1−13⋅x2+43⋅x3=126\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126  und Punkte  A(1∣1∣1)\mathrm{A}(1|1|1),  B(1∣−2∣1)\mathrm B(1\vert-2\vert1),  C(0∣0∣3)\mathrm C(0\vert0\vert3).

    16. Ebene  E:  x→=(111)+r⋅(211)+s⋅(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}  und Punkt  P(4∣3∣5)\mathrm P(4\vert3\vert5) .

    17. Ebene  E:  x→=(111)+r⋅(211)+s⋅(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}  und Punkt  P(1∣−3∣1)\mathrm P(1\vert-3\vert1) .

  2. 2

    Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.

    1. g:  x→=(21−3)+r⋅(−131)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}  und Punkt  P(1∣4∣−2)\mathrm P(1\vert4\vert-2)

    2. g:  x→=(21−3)+r⋅(−131)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}  und Punkt  P(1∣−3∣−3)\mathrm P(1\vert-3\vert-3)

  3. 3

    Die folgenden Punkte AA, BB und CC sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.

    1. A(3∣−1∣5)A(3|-1|5), B(−2∣2∣−3)B(-2|2|-3) und C(3∣4∣1)C(3|4|1)

    2. A(1∣−2∣2)A(1|-2|2), B(3∣0∣3)B(3|0|3) und C(−4∣−7∣−0,5)C(-4|-7|-0{,}5)