Aufgaben zur Lage von Punkten
Hier findest du Übungsaufgaben zur Lage von Punkten. Untersuche Punkte in ihrer gegenseitigen Lage mit Ebenen, Geraden und anderen Formen!
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Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.
Ebene E:−12−3∘x−020=0 und Punkt P(0∣−1∣−2).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:−12−3∘x−020=0 und P(0∣−1∣−2)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
−12−3∘0−1−2−020=0
−12−3∘0−3−2=0
(−1)⋅0+2⋅(−3)+(−3)⋅(−2)−6+60===000
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also in der Ebene.
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Ebene E:1−2−3∘x+9=0 und Punkt P(0∣1∣3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:1−2−3∘x+9=0 und P(0∣1∣3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
1−2−3∘013+9=0
1⋅0+(−2)⋅1+(−3)⋅3+9−2−9+9−2===000
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt P liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene E:8x1−x2+4x3−15=0 und Punkt P(2∣1∣0).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:8x1−x2+4x3−15=0 und P=(2∣1∣0)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
8⋅2−1+4⋅0−15=0
16−1−15=0
0=0
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also in der Ebene.
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Ebene E:2−46∘x−020=0 und Punkt P(3∣−1∣2) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:2−46∘x−020=0 und P(3∣−1∣2)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
2−46∘3−12−020=0
2−46∘3−32=0
2⋅3+(−4)⋅(−3)+6⋅26+12+1230===000
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt P liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene E:1−2−3∘x+9=0 und Punkt P(−2∣−1∣3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:1−2−3∘x+9=0 und P(−2∣−1∣3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
1−2−3∘−2−13+9=0
1⋅(−2)+(−2)⋅(−1)+(−3)⋅3+9−2+2−9+90===000
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt P liegt also in der Ebene.
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Ebene E:8x1−x2+4x3−15=0 und Punkt P(2∣1∣1).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:8x1−x2+4x3−15=0 und P(2∣1∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
8⋅2−1+4⋅1−1516−1+4−154===000
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt P liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene E:−246∘x+9=0 und Punkt P(0∣0∣−3) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
E:−246∘x+9=0 und P(0∣0∣−3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt P in die Gleichung von E ein.
−246∘00−3+9=0
(−2)⋅0+4⋅0+6⋅(−3)+9−18+9−9===000
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt P liegt also nicht in der Ebene.
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Ebene E:x1+x2−x3=1 und Punkte A(1∣2∣3), B(1∣2∣2), C(10∣4∣13).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:x1+x2−x3=1 und A(1∣2∣3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
1⋅1+1⋅2−1⋅31+2−30===111
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt A liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für B
E:x1+x2−x3=1 und B(1∣2∣2)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
1⋅1+1⋅2−1⋅21+2−21===111
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt B liegt also in der Ebene.
Punktprobe für C
E:x1+x2−x3=1 und C(10∣4∣13)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
1⋅10+1⋅4−1⋅1310+4−131===111
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt C liegt also in der Ebene.
Ergebnis: B und C liegen in der Ebene E.
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Ebene E:4⋅x1+5⋅x2−3⋅x3=8 und Punkte A(1∣1∣1), B(0∣1∣−1), C(2∣0∣0).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:4⋅x1+5⋅x2−3⋅x3=8 und A(1∣1∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
4⋅1+5⋅1−3⋅14+5−36===888
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt A liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für B
E:4⋅x1+5⋅x2−3⋅x3=8 und B(0∣1∣−1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
4⋅0+5⋅1−3⋅(−1)0+5+38===888
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt B liegt also in der Ebene.
Punktprobe für C
E:4⋅x1+5⋅x2−3⋅x3=8 und C(2∣0∣0)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
4⋅2+5⋅0−3⋅08+0−08===888
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt C liegt also in der Ebene.
Ergebnis: B und C liegen in der Ebene E.
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Ebene E:x2−x3=−2 und Punkte A(−2∣3∣3), B(1∣0∣0), C(8∣1∣3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:x2−x3=−2 und A(−2∣3∣3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
1⋅3−1⋅33−30===−2−2−2
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt A liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für B
E:x2−x3=−2 und B(1∣0∣0)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
1⋅0−1⋅00+00===−2−2−2
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt B liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für C
E:x2−x3=−2 und C(8∣1∣3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
1⋅1−1⋅31−3−2===−2−2−2
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt C liegt also in der Ebene.
Ergebnis: Nur der Punkt C liegt in der Ebene E.
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Ebene E:18⋅x1−13⋅x2+7⋅x3=22 und Punkte A(1∣1∣1), B(1∣0∣1), C(0∣2∣1).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:18⋅x1−13⋅x2+7⋅x3=22 und A(1∣1∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
18⋅1−13⋅1+7⋅118−13+712===222222
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt A liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für B
E:18⋅x1−13⋅x2+7⋅x3=22 und B(1∣0∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
18⋅1−13⋅0+7⋅118−0+725===222222
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt B liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für C
E:18⋅x1−13⋅x2+7⋅x3=22 und C(0∣2∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
18⋅0−13⋅2+7⋅10−26+7−19===222222
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt C liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.
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Ebene E:x1−x3=−2 und Punkte A(−1∣1∣1), B(−2∣0∣0), C(2∣2∣4).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:x1−x3=−2 und A(−1∣1∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
1⋅(−1)−1⋅1−1−1−2===−2−2−2
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt A liegt also in der Ebene.
Punktprobe für B
E:x1−x3=−2 und B(−2∣0∣0)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
1⋅(−2)−1⋅0−2−0−2===−2−2−2
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt B liegt also in der Ebene.
Punktprobe für C
E:x1−x3=−2 und C(2∣2∣4)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
1⋅2−1⋅42−4−2===−2−2−2
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt C liegt also in der Ebene.
Ergebnis: A, B und C liegen in der Ebene E.
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Ebene E:2⋅x1+8⋅x2−5⋅x3=−10 und Punkte A(4∣−1∣2), B(10∣−2∣1), C(−1∣−1∣0).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:2⋅x1+8⋅x2−5⋅x3=−10 und A(4∣−1∣2)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
2⋅4+8⋅(−1)−5⋅28−8−10−10===−10−10−10
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt A liegt also in der Ebene.
Punktprobe für B
E:2⋅x1+8⋅x2−5⋅x3=−10 und B(10∣−2∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
2⋅10+8⋅(−2)−5⋅120−16−5−1===−10−10−10
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt B liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für C
E:2⋅x1+8⋅x2−5⋅x3=−10 und C(−1∣−1∣0)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
2⋅(−1)+8⋅(−1)−5⋅0−2−8−0−10===−10−10−10
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt C liegt also in der Ebene.
Ergebnis: A und C liegen in der Ebene E.
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Ebene E:12⋅x1+2⋅x2+5⋅x3=31 und Punkte A(0∣0,5∣6), B(0∣2∣6), C(2∣3∣0,5).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:12⋅x1+2⋅x2+5⋅x3=31 und A(0∣0,5∣6)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
12⋅0+2⋅0,5+5⋅60+1+3031===313131
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt A liegt also in der Ebene.
Punktprobe für B
E:12⋅x1+2⋅x2+5⋅x3=31 und B(0∣2∣6)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
12⋅0+2⋅2+5⋅60+4+3034===313131
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt B liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für C
E:12⋅x1+2⋅x2+5⋅x3=31 und C(2∣3∣0,5)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
12⋅2+2⋅3+5⋅0,524+6+2,532,5===313131
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt C liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Nur der Punkt A liegt in der Ebene E.
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Ebene E:100⋅x1−13⋅x2+43⋅x3=126 und Punkte A(1∣1∣1), B(1∣−2∣1), C(0∣0∣3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Punktprobe für A
E:100⋅x1−13⋅x2+43⋅x3=126 und A(1∣1∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt A in die Gleichung von E ein.
100⋅1−13⋅1+43⋅1100−13+43130===126126126
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt A liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für B
E:100⋅x1−13⋅x2+43⋅x3=126 und B(1∣−2∣1)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt B in die Gleichung von E ein.
100⋅1−13⋅(−2)+43⋅1100+26+43169===126126126
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt B liegt also nicht in der Ebene.
Punktprobe für C
E:100⋅x1−13⋅x2+43⋅x3=126 und C(0∣0∣3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt C in die Gleichung von E ein.
100⋅0−13⋅0+43⋅30−0+129129===126126126
Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt C liegt also nicht in der Ebene.
Ergebnis: Kein Punkt liegt in der Ebene E.
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Ebene E:x=111+r⋅211+s⋅113 und Punkt P(4∣3∣5) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für X den Vektor OP ein:
435=111+r⋅211+s⋅113⇒324=r⋅211+s⋅113
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
(I):(II):(III):324===2⋅r1⋅r1⋅r+++1⋅s1⋅s3⋅s
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. (I)−(II):1=r
Aus Gleichung (II)folgt: 2=1⋅1+1⋅s⇒s=1
Probe in Gleichung (III):4=1+3=4✓
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=1 und s=1 erhalten.
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt P liegt in der Ebene E.
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Ebene E:x=111+r⋅211+s⋅113 und Punkt P(1∣−3∣1) .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für X den Vektor OP ein:
1−31=111+r⋅211+s⋅113⇒0−40=r⋅211+s⋅113
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
(I):(II):(III):0−40===2⋅r1⋅r1⋅r+++1⋅s1⋅s3⋅s
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. (I)−(II):4=r
Aus Gleichung (II)folgt: −4=1⋅4+1⋅s⇒s=−8
Probe in Gleichung (III):0=4+3⋅(−8)=−20⇒0=−20
Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Ergebnis: Der Punkt P liegt nicht in der Ebene E.
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- 2
Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.
g:x=21−3+r⋅−131 und Punkt P(1∣4∣−2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
g:x=21−3+r⋅−131 und Punkt P(1∣4∣−2)
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade g gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
21−3+r⋅−131=14−2
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter r zu bestimmen.
2−1⋅r = 1 +r 2 = 1+r −1 r = 1 Setze r in die obige Gleichung ein:
21−3+1⋅−131=14−2
Für r=1 ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade erfüllt. Der Punkt liegt also auf der Geraden.
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g:x=21−3+r⋅−131 und Punkt P(1∣−3∣−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
g:x=21−3+r⋅−131 und Punkt P(1∣−3∣−3)
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade g gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
21−3+r⋅−131=1−3−3
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter r zu bestimmen.
2−1⋅r = 1 +r 2 = 1+r −1 r = 1 Setze r in die obige Gleichung ein:
21−3+1⋅−131=14−2
Für r=1 ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade nicht erfüllt. Die Gleichung ist aber auch für keinen anderen Parameterwert erfüllt, da sich die x1 -Koordinate für alle anderen Werte von r von der des Punktes unterscheidet. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
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- 3
Die folgenden Punkte A, B und C sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.
A(3∣−1∣5), B(−2∣2∣−3) und C(3∣4∣1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die Formel für die Geradengleichung lautet:
X=A+λ⋅AB
Der Aufpunkt ist: A=3−15
Der Richtungsvektor ist:
AB=B−A=−22−3−3−15=−53−8
C(3∣4∣1) wird in die Geradengleichung eingesetzt:
C=A+λ⋅AB=3−15+λ⋅−53−8
Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:
3=3+λ⋅(−5)⇒λ=0
4=−1+λ⋅3⇒λ=35
1=5+λ⋅(−8)⇒λ=21
Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für λ. Der Punkt C liegt also nicht auf der Geraden gAB.
Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.
Alternative Rechnung
Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren AB und AC Vielfache voneinander sein.
AC=C−A=341−3−15=05−4
Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors AB ist, da die erste Komponente von AC Null ist und daher AC das Nullfache von AB sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
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Die drei Punkte A,B und C bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt C nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte A und B liegt. Erstelle die Geradengleichung gAB und prüfe, ob C∈/gAB ist, d.h. der Punkt C darf nicht auf der Geraden gAB liegen.
A(1∣−2∣2), B(3∣0∣3) und C(−4∣−7∣−0,5)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die Formel für die Geradengleichung lautet: