Aufgaben zur Lage von Punkten

Hier findest du Übungsaufgaben zur Lage von Punkten. Untersuche Punkte in ihrer gegenseitigen Lage mit Ebenen, Geraden und anderen Formen!

1
Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.
1. Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und Punkt $\mathrm{P}(0|-1|-2)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm P(0\vert-1\vert-2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$
  $\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-3\\-2\end{pmatrix}=0$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(-1)\cdot0+2\cdot(-3)+(-3)\cdot(-2)&=&0\\-6+6&=&0\\0&=&0\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und Punkt $\mathrm P(0\vert1\vert3)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und $\mathrm P(0\vert1\vert3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+9=0$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot0+(-2)\cdot1+(-3)\cdot3+9&=&0\\-2-9+9&=&0\\-2&=&0\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Ebene $\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und Punkt $\mathrm P(2\vert1\vert0)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und $\mathrm P=(2\vert1\vert0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $8\cdot2-1+4\cdot0-15=0$
  $16-1-15=0$
  $0=0$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und Punkt $\mathrm P(3\vert-1\vert2)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$ und $\mathrm P(3\vert-1\vert2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0$
  $\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}=0$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}2\cdot3+(-4)\cdot(-3)+6\cdot2&=&0\\6+12+12&=&0\\30&=&0\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9\;=0$ und Punkt $\mathrm P(-2\vert-1\vert3)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9\;=0$ und $\mathrm P(-2\vert-1\vert3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}+9\;=0$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot(-2)+(-2)\cdot(-1)+(-3)\cdot3+9\;&=&0\\-2+2-9+9&=&0\\0&=&0\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Ebene $\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und Punkt $\mathrm P(2\vert1\vert1)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0$ und $\mathrm P(2\vert1\vert1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}8\cdot2-1+4\cdot1-15&=&0\\16-1+4-15&=&0\\4&=&0\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. Ebene $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und Punkt $\mathrm P(0\vert0\vert-3)$ .
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  $\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0$ und $\mathrm P(0\vert0\vert-3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $P$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}+9=0$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(-2)\cdot0+4\cdot0+6\cdot(-3)+9&=&0\\-18+9&=&0\\-9&=&0\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8. Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und Punkte $\mathrm{A}(1|2|3)$ , $\mathrm{B}(1|2|2)$ , $\mathrm C(10\vert4\vert13)$ .
  A, B
  A, B, C
  B, C
  A, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für $A$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $A(1|2|3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1+1\cdot2-1\cdot3&=&1\\1+2-3&=&1\\0&=&1\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $B(1|2|2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1+1\cdot2-1\cdot2&=&1\\1+2-2&=&1\\1&=&1\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $C(10|4|13)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot10+1\cdot4-1\cdot13&=&1\\10+4-13&=&1\\1&=&1\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9. Ebene $\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und Punkte $\mathrm{A}(1|1|1)$ , $B(0|1|-1)$ , $\mathrm C(2\vert0\vert0)$ .
  A, C
  A, B
  kein Punkt
  B, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $A(1∣1∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot1+5\cdot1-3\cdot1&=&8\\4+5-3&=&8\\6&=&8\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $B(0∣1∣-1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot0+5\cdot1-3\cdot(-1)&=&8\\0+5+3&=&8\\8&=&8\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $C(2∣0∣0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot2+5\cdot0-3\cdot0&=&8\\8+0-0&=&8\\8&=&8\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
10. Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und Punkte $\mathrm{A}(-2|3|3)$ , $\mathrm{B}(1|0|0)$ , $\mathrm{C}(8|1|3)$ .
  A
  A, B
  C
  B, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für $A$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $A(-2|3|3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot3-1\cdot3&=&-2\\3-3&=&-2\\0&=&-2\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $B(1|0|0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot0-1\cdot0&=&-2\\0+0&=&-2\\0&=&-2\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $C(8|1|3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1-1\cdot3&=&-2\\1-3&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: Nur der Punkt $C$ liegt in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
11. Ebene $\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und Punkte $\mathrm{A}(1|1|1)$ , $\mathrm B(1\vert0\vert1)$ , $\mathrm C(0\vert2\vert1)$ .
  A, B, C
  A, B
  kein Punkt
  C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $A(1∣1∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot1-13\cdot1+7\cdot1&=&22\\18-13+7&=&22\\12&=&22\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $B(1∣0∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot1-13\cdot0+7\cdot1&=&22\\18-0+7&=&22\\25&=&22\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $C(0∣2∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot0-13\cdot2+7\cdot1&=&22\\0-26+7&=&22\\-19&=&22\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
  Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
12. Ebene $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und Punkte $\mathrm{A}(-1|1|1)$ , $\mathrm B(-2\vert0\vert0)$ , $\mathrm C(2\vert2\vert4)$ .
  A, B
  B, C
  A, B, C
  kein Punkt
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $A(-1∣1∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot(-1)-1\cdot1&=&-2\\-1-1&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $B(-2∣0∣0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot(-2)-1\cdot0&=&-2\\-2-0&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $C(2∣2∣4)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot2-1\cdot4&=&-2\\2-4&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $A$ , $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
13. Ebene $\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und Punkte $\mathrm{A}(4|-1|2)$ , $\mathrm B(10\vert-2\vert1)$ , $\mathrm C(-1\vert-1\vert0)$ .
  A, B
  B, C
  A, C
  C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $A(4∣-1∣2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot4+8\cdot(-1)-5\cdot2&=&-10\\8-8-10&=&-10\\-10&=&-10\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $B(10∣-2∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot10+8\cdot(-2)-5\cdot1&=&-10\\20-16-5&=&-10\\-1&=&-10\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $C(-1∣-1∣0)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot(-1)+8\cdot(-1)-5\cdot0&=&-10\\-2-8-0&=&-10\\-10&=&-10\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.
  Ergebnis: $A$ und $C$ liegen in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
14. Ebene $\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und Punkte $\mathrm{A}(0|0{,}5|6)$ , $\mathrm B(0\vert2\vert6)$ , $\mathrm C(2\vert3\vert0{,}5)$ .
  B
  C
  A
  B, C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $A(0∣0{,}5∣6)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot0+2\cdot0{,}5+5\cdot6&=&31\\0+1+30&=&31\\31&=&31\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $B(0∣2∣6)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot0+2\cdot2+5\cdot6&=&31\\0+4+30&=&31\\34&=&31\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $C(2∣3∣0{,}5)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot2+2\cdot3+5\cdot0{,}5&=&31\\24+6+2{,}5&=&31\\32{,}5&=&31\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
  Ergebnis: Nur der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
15. Ebene $\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und Punkte $\mathrm{A}(1|1|1)$ , $\mathrm B(1\vert-2\vert1)$ , $\mathrm C(0\vert0\vert3)$ .
  A, B, C
  A, C
  kein Punkt
  A, B
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Punktprobe für A
  $\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $A(1∣1∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot1-13\cdot1+43\cdot1&=&126\\100-13+43&=&126\\130&=&126\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $B$
  $\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $B(1∣-2∣1)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot1-13\cdot(-2)+43\cdot1&=&126\\100+26+43&=&126\\169&=&126\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.
  Punktprobe für $C$
  $\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $C(0∣0∣3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot0-13\cdot0+43\cdot3&=&126\\0-0+129&=&126\\129&=&126\end{array}$
  Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.
  Ergebnis: Kein Punkt liegt in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
16. Ebene $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(4\vert3\vert5)$ .
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Führe eine Punktprobe durch:
  Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:
  $\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$
  Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&3&=&2\cdot r&+&1\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &2&=&1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &4&=&1\cdot r&+&3 \cdot s\end{array}$
  Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
  Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}:\;1=r$
  Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$ folgt: $2=1\cdot 1+1\cdot s\;\Rightarrow\;s=1$
  Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;4=1+3=4\;\checkmark$
  Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=1$ und $s=1$ erhalten.
  Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
17. Ebene $\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert1)$ .
  Der Punkt liegt nicht in der Ebene.
  Der Punkt liegt in der Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
  Führe eine Punktprobe durch:
  Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:
  $\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$
  Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&0&=&2\cdot r&+&1\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-4&=&1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&1\cdot r&+&3 \cdot s\end{array}$
  Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
  Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}:\;4=r$
  Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$ folgt: $-4=1\cdot 4+1\cdot s\;\Rightarrow\;s=-8$
  Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;0=4+3\cdot (-8)=-20\;\Rightarrow\;0\neq-20$
  Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
  Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.
1. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert4\vert-2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert4\vert-2)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
  von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
  $\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
  $\displaystyle 2-1\cdot r$ $=$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle +r$
  $\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+r$ $\displaystyle -1$
  $\displaystyle r$ $=$ $\displaystyle 1$
  Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
  $\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Für $\mathrm r=1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade erfüllt. Der Punkt liegt also auf der Geraden.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert-3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert-3)$
  Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
  von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
  $\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}$
  Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
  $\displaystyle 2-1\cdot r$ $=$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle +r$
  $\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+r$ $\displaystyle -1$
  $\displaystyle r$ $=$ $\displaystyle 1$
  Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
  $\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Für $\mathrm r=1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade nicht erfüllt. Die Gleichung ist aber auch für keinen anderen Parameterwert erfüllt, da sich die ${\mathrm x}_1$ -Koordinate für alle anderen Werte von $r$ von der des Punktes unterscheidet. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Die folgenden Punkte $A$ , $B$ und $C$ sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.
1. $A(3|-1|5)$ , $B(-2|2|-3)$ und $C(3|4|1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Die Formel für die Geradengleichung lautet:
  $\vec{X}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$
  Der Aufpunkt ist: $\vec{A}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$
  Der Richtungsvektor ist:
  $\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -8 \end{pmatrix}$
  $C(3|4|1)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:
  $\vec{C}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -8 \end{pmatrix}$
  Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:
  $3=3+ \lambda \cdot (-5) \Rightarrow \lambda = 0$
  $4=-1+ \lambda \cdot 3 \Rightarrow \lambda= \frac{5}{3}$
  $1=5+ \lambda \cdot (-8) \Rightarrow \lambda= \frac{1}{2}$
  Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für $\lambda$ . Der Punkt $C$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{AB}$ .
  Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.
  Alternative Rechnung
  Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ Vielfache voneinander sein.
  $\overrightarrow{AC}=\vec C-\vec A= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}$
  Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors $\overrightarrow{AB}$ ist, da die erste Komponente von $\overrightarrow{AC}$ Null ist und daher $\overrightarrow{AC}$ das Nullfache von $\overrightarrow{AB}$ sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Die drei Punkte $A,\;B$ und $C$ bilden dann ein Dreieck, wenn der Punkt $C$ nicht auf der Geraden durch die beiden Punkte $A$ und $B$ liegt. Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$ und prüfe, ob $C\notin g_{AB}$ ist, d.h. der Punkt $C$ darf nicht auf der Geraden $g_{AB}$ liegen.
2. $A(1|-2|2)$ , $B(3|0|3)$ und $C(-4|-7|-0{,}5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Die Formel für die Geradengleichung lautet:
  $\vec{X} = \vec{A} + λ \cdot \overset{}{A B}$

$\displaystyle 2-1\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1+r$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

Aufgaben zur Lage von Punkten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für AAA

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für A

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für AAA

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für A

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für A

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für A

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für A

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für A

Punktprobe für BBB

Punktprobe für CCC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punktprobe für $A$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $A$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$

Punktprobe für $B$

Punktprobe für $C$