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Aufgaben zur Lage von Punkten

Hier findest du Übungsaufgaben zur Lage von Punkten. Untersuche Punkte in ihrer gegenseitigen Lage mit Ebenen, Geraden und anderen Formen!

  1. 1

    Untersuche die Lagebeziehung der Punkte und Ebenen.

    1. Ebene  E:  (123)[x(020)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0  und Punkt  P(012)\mathrm{P}(0|-1|-2).

    2. Ebene  E:  (123)x+9=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0  und Punkt  P(013)\mathrm P(0\vert1\vert3).

    3. Ebene  E:  8x1x2+4x315=0\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0  und Punkt  P(210)\mathrm P(2\vert1\vert0).

    4. Ebene  E:  (246)[x(020)]=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]=0  und Punkt  P(312)\mathrm P(3\vert-1\vert2) .

    5. Ebene  E:  (123)x+9  =0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9\;=0  und Punkt  P(213)\mathrm P(-2\vert-1\vert3).

    6. Ebene  E:  8x1x2+4x315=0\mathrm E:\;8{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_2+4{\mathrm x}_3-15=0  und Punkt  P(211)\mathrm P(2\vert1\vert1).

    7. Ebene  E:  (246)x+9=0\mathrm E:\;\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+9=0  und Punkt  P(003)\mathrm P(0\vert0\vert-3) .

    8. Ebene  E:  x1+x2x3=1\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1  und Punkte  A(123)\mathrm{A}(1|2|3)B(122)\mathrm{B}(1|2|2)C(10413)\mathrm C(10\vert4\vert13).

    9. Ebene  E:  4x1+5x23x3=8\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8  und Punkte  A(111)\mathrm{A}(1|1|1)B(011)B(0|1|-1)C(200)\mathrm C(2\vert0\vert0).

    10. Ebene  E:  x2x3=2\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2  und Punkte  A(233)\mathrm{A}(-2|3|3)B(100)\mathrm{B}(1|0|0)C(813)\mathrm{C}(8|1|3).

    11. Ebene  E:  18x113x2+7x3=22\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22  und Punkte  A(111)\mathrm{A}(1|1|1)B(101)\mathrm B(1\vert0\vert1)C(021)\mathrm C(0\vert2\vert1).

    12. Ebene  E:  x1x3=2\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2  und Punkte  A(111)\mathrm{A}(-1|1|1)B(200)\mathrm B(-2\vert0\vert0)C(224)\mathrm C(2\vert2\vert4).

    13. Ebene  E:  2x1+8x25x3=10\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10  und Punkte  A(412)\mathrm{A}(4|-1|2)B(1021)\mathrm B(10\vert-2\vert1)C(110)\mathrm C(-1\vert-1\vert0).

    14. Ebene  E:  12x1+2x2+5x3=31\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31  und Punkte  A(00,56)\mathrm{A}(0|0{,}5|6)B(026)\mathrm B(0\vert2\vert6)C(230,5)\mathrm C(2\vert3\vert0{,}5).

    15. Ebene  E:  100x113x2+43x3=126\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126  und Punkte  A(111)\mathrm{A}(1|1|1)B(121)\mathrm B(1\vert-2\vert1)C(003)\mathrm C(0\vert0\vert3).

    16. Ebene  E:  x=(111)+r(211)+s(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}  und Punkt  P(435)\mathrm P(4\vert3\vert5) .

    17. Ebene  E:  x=(111)+r(211)+s(113)\mathrm E:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}  und Punkt  P(131)\mathrm P(1\vert-3\vert1) .

  2. 2

    Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.

    1. g:  x=(213)+r(131)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}  und Punkt  P(142)\mathrm P(1\vert4\vert-2)

    2. g:  x=(213)+r(131)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}  und Punkt  P(133)\mathrm P(1\vert-3\vert-3)

  3. 3

    Die folgenden Punkte AA, BB und CC sind gegeben. Überprüfe, ob sie ein Dreieck bilden.

    1. A(315)A(3|-1|5), B(223)B(-2|2|-3) und C(341)C(3|4|1)

    2. A(122)A(1|-2|2), B(303)B(3|0|3) und C(470,5)C(-4|-7|-0{,}5)

  4. 4

    Untersuche, ob die Punkte auf der Geraden liegen.

    1. g:    x=(112)+r(151)g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}; P(063)P\left(0 \vert -6 \vert 3\right)

    2. g:    x=(112)+r(151)g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}; Q(121)Q\left(-1 \vert 2 \vert -1\right)

    3. g:    x=(131)+r(422)g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}; R(312)R\left(3|1|2\right)

    4. g:  x=(212)+r(451)g:\; \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}; T(690)T(-6|9|0)

  5. 5

    Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.

    1. E:  X=(132)+r(231)+s(342)E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} und P(121)P\left(-1|2|1\right)

    2. E:  X=(132)+r(231)+s(342)E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} und Q(253)Q\left(2|5|-3\right)

    3. E:  (144)[X(102)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\vec X-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0 und P(212)P\left(2|-1|2\right)

    4. E:  (144)[X(102)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\vec X-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0 und Q(113)Q\left(1|1|3\right)

    5. E:2x14x2+z3=0E: 2x_1-4x_2+z-3=0 und P(115)P\left(1|1|5\right)

    6. E:2x14x2+z3=0E: 2x_1-4x_2+z-3=0 und Q(316)Q\left(3|1|6\right)

  6. 6

    Gegeben sind ein Punkt Pa(1a2)P_a\left(1|a|-2\right) mit aRa\in \mathbb{R} und eine Ebene

    E:  2x1+3x2x33=0E:\; -2x_1+3x_2-x_3-3=0.

    Für welche Werte von aa liegt der Punkt PaP_a in der Ebene E  E\;?

  7. 7

    Gegeben sind ein Punkt Pa(213a)P_a\left(2|-1|3a\right) mit aRa \in \mathbb{R} und eine Ebene

    E:  (134)[X(234,5)]=0E:\;\begin{pmatrix}1\\-3\\4\end{pmatrix}\circ\left[\vec X-\begin{pmatrix}2\\-3\\4{,}5\end{pmatrix}\right]=0

    Für welche Werte von aa liegt der Punkt PaP_a in der Ebene EE ?

  8. 8

    Gegeben sind ein Punkt Pa(a1a2a)P_a\left(a|1-a|2a\right) mit aRa \in \mathbb{R} und eine Ebene

    E:  X=(141)+r(102)+s(214)E:\;\vec X=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}

    Zeige, dass für keinen Wert von aa der Punkt PaP_a in der Ebene EE liegt.

  9. 9

    Gegeben sind ein Punkt Pa(a2a2)P_a\left(a^2|a|2\right) mit aRa \in \mathbb{R} und eine Ebene

    E:  2x16x2+x310=0E:\;2x_1-6x_2+x_3-10=0

    Für welche Werte von aa liegt der Punkt PaP_a in der Ebene EE ?

  10. 10

    Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von den beiden Ebenen

    E1:  2x1+2x2x3=6E_1:\;2x_1+2x_2-x_3=6 und E2:  6x19x22x3=22 E_2:\;-6x_1-9x_2-2x_3=22 den gleichen Abstand hat.

    Tipp: Es gibt sehr viele Punkte dieser Art.


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