Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $A$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3=1$ und $A(1|2|3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 1+1\cdot 2-1\cdot 3& =& 1\\ 1+2-3& =& 1\\ 0& =& 1\end{array}\text{}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3=1$ und $B(1|2|2)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 1+1\cdot 2-1\cdot 2& =& 1\\ 1+2-2& =& 1\\ 1& =& 1\end{array}\text{}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3=1$ und $C(10|4|13)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 10+1\cdot 4-1\cdot 13& =& 1\\ 10+4-13& =& 1\\ 1& =& 1\end{array}\text{}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm{E}:4\cdot {\mathrm{x}}_1+5\cdot {\mathrm{x}}_2-3\cdot {\mathrm{x}}_3=8$ und $A(1\text{∣}1\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}4\cdot 1+5\cdot 1-3\cdot 1& =& 8\\ 4+5-3& =& 8\\ 6& =& 8\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:4\cdot {\mathrm{x}}_1+5\cdot {\mathrm{x}}_2-3\cdot {\mathrm{x}}_3=8$ und $B(0\text{∣}1\text{∣}-1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}4\cdot 0+5\cdot 1-3\cdot (-1)& =& 8\\ 0+5+3& =& 8\\ 8& =& 8\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:4\cdot {\mathrm{x}}_1+5\cdot {\mathrm{x}}_2-3\cdot {\mathrm{x}}_3=8$ und $C(2\text{∣}0\text{∣}0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}4\cdot 2+5\cdot 0-3\cdot 0& =& 8\\ 8+0-0& =& 8\\ 8& =& 8\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für $A$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3=-2$ und $A(-2|3|3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 3-1\cdot 3& =& -2\\ 3-3& =& -2\\ 0& =& -2\end{array}\text{}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3=-2$ und $B(1|0|0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 0-1\cdot 0& =& -2\\ 0+0& =& -2\\ 0& =& -2\end{array}\text{}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3=-2$ und $C(8|1|3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 1-1\cdot 3& =& -2\\ 1-3& =& -2\\ -2& =& -2\end{array}\text{}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: Nur der Punkt $C$ liegt in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm{E}:18\cdot {\mathrm{x}}_1-13\cdot {\mathrm{x}}_2+7\cdot {\mathrm{x}}_3=22$ und $A(1\text{∣}1\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}18\cdot 1-13\cdot 1+7\cdot 1& =& 22\\ 18-13+7& =& 22\\ 12& =& 22\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:18\cdot {\mathrm{x}}_1-13\cdot {\mathrm{x}}_2+7\cdot {\mathrm{x}}_3=22$ und $B(1\text{∣}0\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}18\cdot 1-13\cdot 0+7\cdot 1& =& 22\\ 18-0+7& =& 22\\ 25& =& 22\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:18\cdot {\mathrm{x}}_1-13\cdot {\mathrm{x}}_2+7\cdot {\mathrm{x}}_3=22$ und $C(0\text{∣}2\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}18\cdot 0-13\cdot 2+7\cdot 1& =& 22\\ 0-26+7& =& 22\\ -19& =& 22\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.

Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_3=-2$ und $A(-1\text{∣}1\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot (-1)-1\cdot 1& =& -2\\ -1-1& =& -2\\ -2& =& -2\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_3=-2$ und $B(-2\text{∣}0\text{∣}0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot (-2)-1\cdot 0& =& -2\\ -2-0& =& -2\\ -2& =& -2\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_3=-2$ und $C(2\text{∣}2\text{∣}4)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}1\cdot 2-1\cdot 4& =& -2\\ 2-4& =& -2\\ -2& =& -2\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $A$, $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm{E}:2\cdot {\mathrm{x}}_1+8\cdot {\mathrm{x}}_2-5\cdot {\mathrm{x}}_3=-10$ und $A(4\text{∣}-1\text{∣}2)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}2\cdot 4+8\cdot (-1)-5\cdot 2& =& -10\\ 8-8-10& =& -10\\ -10& =& -10\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:2\cdot {\mathrm{x}}_1+8\cdot {\mathrm{x}}_2-5\cdot {\mathrm{x}}_3=-10$ und $B(10\text{∣}-2\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}2\cdot 10+8\cdot (-2)-5\cdot 1& =& -10\\ 20-16-5& =& -10\\ -1& =& -10\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:2\cdot {\mathrm{x}}_1+8\cdot {\mathrm{x}}_2-5\cdot {\mathrm{x}}_3=-10$ und $C(-1\text{∣}-1\text{∣}0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}2\cdot (-1)+8\cdot (-1)-5\cdot 0& =& -10\\ -2-8-0& =& -10\\ -10& =& -10\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $A$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm{E}:12\cdot {\mathrm{x}}_1+2\cdot {\mathrm{x}}_2+5\cdot {\mathrm{x}}_3=31$ und $A(0\text{∣}\mathrm{0,5}\text{∣}6)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}12\cdot 0+2\cdot \mathrm{0,5}+5\cdot 6& =& 31\\ 0+1+30& =& 31\\ 31& =& 31\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:12\cdot {\mathrm{x}}_1+2\cdot {\mathrm{x}}_2+5\cdot {\mathrm{x}}_3=31$ und $B(0\text{∣}2\text{∣}6)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}12\cdot 0+2\cdot 2+5\cdot 6& =& 31\\ 0+4+30& =& 31\\ 34& =& 31\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:12\cdot {\mathrm{x}}_1+2\cdot {\mathrm{x}}_2+5\cdot {\mathrm{x}}_3=31$ und $C(2\text{∣}3\text{∣}\mathrm{0,5})$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}12\cdot 2+2\cdot 3+5\cdot \mathrm{0,5}& =& 31\\ 24+6+\mathrm{2,5}& =& 31\\ \mathrm{32,5}& =& 31\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.

Ergebnis: Nur der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm{E}:100\cdot {\mathrm{x}}_1-13\cdot {\mathrm{x}}_2+43\cdot {\mathrm{x}}_3=126$ und $A(1\text{∣}1\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}100\cdot 1-13\cdot 1+43\cdot 1& =& 126\\ 100-13+43& =& 126\\ 130& =& 126\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm{E}:100\cdot {\mathrm{x}}_1-13\cdot {\mathrm{x}}_2+43\cdot {\mathrm{x}}_3=126$ und $B(1\text{∣}-2\text{∣}1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}100\cdot 1-13\cdot (-2)+43\cdot 1& =& 126\\ 100+26+43& =& 126\\ 169& =& 126\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm{E}:100\cdot {\mathrm{x}}_1-13\cdot {\mathrm{x}}_2+43\cdot {\mathrm{x}}_3=126$ und $C(0\text{∣}0\text{∣}3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}100\cdot 0-13\cdot 0+43\cdot 3& =& 126\\ 0-0+129& =& 126\\ 129& =& 126\end{array}}$$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.

Ergebnis:  Kein Punkt liegt in der Ebene $E$.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{rrrrrcrr}& (\mathrm{I}):& & 3& =& 2\cdot r& +& 1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & 2& =& 1\cdot r& +& 1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& & 4& =& 1\cdot r& +& 3\cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}):1=r$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$folgt: $2=1\cdot 1+1\cdot s\Rightarrow s=1$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):4=1+3=4✓$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=1$ und $s=1$ erhalten.

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{r}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{rrrrrcrr}& (\mathrm{I}):& & 0& =& 2\cdot r& +& 1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & -4& =& 1\cdot r& +& 1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& & 0& =& 1\cdot r& +& 3\cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}):4=r$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$folgt: $-4=1\cdot 4+1\cdot s\Rightarrow s=-8$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):0=4+3\cdot (-8)=-20\Rightarrow 0\ne -20$

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$.