Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $P$ liegt also in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $A$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $A(1|2|3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1+1\cdot2-1\cdot3&=&1\\1+2-3&=&1\\0&=&1\end{array}​$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $B(1|2|2)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1+1\cdot2-1\cdot2&=&1\\1+2-2&=&1\\1&=&1\end{array}​$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=1$ und $C(10|4|13)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot10+1\cdot4-1\cdot13&=&1\\10+4-13&=&1\\1&=&1\end{array}​$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $A(1∣1∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot1+5\cdot1-3\cdot1&=&8\\4+5-3&=&8\\6&=&8\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $B(0∣1∣-1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot0+5\cdot1-3\cdot(-1)&=&8\\0+5+3&=&8\\8&=&8\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;4\cdot{\mathrm x}_1+5\cdot{\mathrm x}_2-3\cdot{\mathrm x}_3=8$ und $C(2∣0∣0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}4\cdot2+5\cdot0-3\cdot0&=&8\\8+0-0&=&8\\8&=&8\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für $A$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $A(-2|3|3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot3-1\cdot3&=&-2\\3-3&=&-2\\0&=&-2\end{array}​$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $B(1|0|0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot0-1\cdot0&=&-2\\0+0&=&-2\\0&=&-2\end{array}​$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3=-2$ und $C(8|1|3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}1\cdot1-1\cdot3&=&-2\\1-3&=&-2\\-2&=&-2\end{array}​$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: Nur der Punkt $C$ liegt in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $A(1∣1∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot1-13\cdot1+7\cdot1&=&22\\18-13+7&=&22\\12&=&22\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $B(1∣0∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot1-13\cdot0+7\cdot1&=&22\\18-0+7&=&22\\25&=&22\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;18\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+7\cdot{\mathrm x}_3=22$ und $C(0∣2∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}18\cdot0-13\cdot2+7\cdot1&=&22\\0-26+7&=&22\\-19&=&22\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.

Ergebnis: Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $A(-1∣1∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot(-1)-1\cdot1&=&-2\\-1-1&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $B(-2∣0∣0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot(-2)-1\cdot0&=&-2\\-2-0&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $B$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;{\mathrm x}_1-{\mathrm x}_3=-2$ und $C(2∣2∣4)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}1\cdot2-1\cdot4&=&-2\\2-4&=&-2\\-2&=&-2\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $A$, $B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $A(4∣-1∣2)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot4+8\cdot(-1)-5\cdot2&=&-10\\8-8-10&=&-10\\-10&=&-10\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $B(10∣-2∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot10+8\cdot(-2)-5\cdot1&=&-10\\20-16-5&=&-10\\-1&=&-10\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;2\cdot{\mathrm x}_1+8\cdot{\mathrm x}_2-5\cdot{\mathrm x}_3=-10$ und $C(-1∣-1∣0)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}2\cdot(-1)+8\cdot(-1)-5\cdot0&=&-10\\-2-8-0&=&-10\\-10&=&-10\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $C$ liegt also in der Ebene.

Ergebnis: $A$ und $C$ liegen in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $A(0∣0{,}5∣6)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot0+2\cdot0{,}5+5\cdot6&=&31\\0+1+30&=&31\\31&=&31\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine wahre Aussage. Der Punkt $A$ liegt also in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $B(0∣2∣6)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot0+2\cdot2+5\cdot6&=&31\\0+4+30&=&31\\34&=&31\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;12\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+5\cdot{\mathrm x}_3=31$ und $C(2∣3∣0{,}5)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}12\cdot2+2\cdot3+5\cdot0{,}5&=&31\\24+6+2{,}5&=&31\\32{,}5&=&31\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.

Ergebnis: Nur der Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$.

Punktprobe für A

$\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $A(1∣1∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $A$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot1-13\cdot1+43\cdot1&=&126\\100-13+43&=&126\\130&=&126\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $A$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $B$

$\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $B(1∣-2∣1)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $B$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot1-13\cdot(-2)+43\cdot1&=&126\\100+26+43&=&126\\169&=&126\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $B$ liegt also nicht in der Ebene.

Punktprobe für $C$

$\mathrm E:\;100\cdot{\mathrm x}_1-13\cdot{\mathrm x}_2+43\cdot{\mathrm x}_3=126$ und $C(0∣0∣3)$

Der Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Setze den Punkt $C$ in die Gleichung von $E$ ein.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{rcl}100\cdot0-13\cdot0+43\cdot3&=&126\\0-0+129&=&126\\129&=&126\end{array}$

Das Einsetzen in die Gleichung liefert eine falsche Aussage. Der Punkt $C$ liegt also nicht in der Ebene.

Ergebnis:  Kein Punkt liegt in der Ebene $E$.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&3&=&2\cdot r&+&1\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &2&=&1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &4&=&1\cdot r&+&3 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}:\;1=r$

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$folgt: $2=1\cdot 1+1\cdot s\;\Rightarrow\;s=1$

Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;4=1+3=4\;\checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=1$ und $s=1$ erhalten.

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}=\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&0&=&2\cdot r&+&1\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-4&=&1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&1\cdot r&+&3 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(II)}:\;4=r$

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$folgt: $-4=1\cdot 4+1\cdot s\;\Rightarrow\;s=-8$

Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;0=4+3\cdot (-8)=-20\;\Rightarrow\;0\neq-20$

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$.