Aufgaben zur Lage von Punkten - lernen mit Serlo!

Untersuche, ob die Punkte auf der Geraden liegen.

$g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$ ; $P\left(0 \vert -6 \vert 3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $P$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{P\left(0\left|-6\right|3\right)}$ für $\vec X$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}0\\-6\\3\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&0 & = & 1 & +&r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &-6 &=& -1&+&5r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& 3 &=& 2&-&r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &-1&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&-1&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&r&=&-1&\end{array}$
In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $- 1$ .
Antwort: Der Punkt $P$ liegt auf der Geraden $g$ .
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$g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$ ; $Q\left(-1 \vert 2 \vert -1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $Q$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{Q\left(-1\left|2\right|-1\right)}$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&-1 & = & 1 & +&r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &2 &=& -1&+&5r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& -1 &=& 2&-&r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &-2&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&\frac{3}{5}&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& r &=&3&\end{array}$
Weil $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, kann der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden liegen.
Antwort: Der Punkt $Q$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .
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$g:\;\;\vec x=\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$ ; $R\left(3|1|2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $R$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{R(3|1|2)}$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&3 & = & -1 & +&4r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &1 &=& 3&-&2r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& 2 &=&-1&+&2r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &1&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&1&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&r&=&\frac{3}{2}&\end{array}$
In den Gleichungen $\mathrm{(I)}$ und $\mathrm{(II)}$ hat zwar $r$ den gleichen Wert $r = 1$ , in Gleichung $\mathrm{(III)}$ aber nicht. Hier hat $r$ den Wert $r=\frac{3}{2}$ .
Da $r$ nicht in allen drei Gleichungen denselben Wert hat, liegt der Punkt $R$ nicht auf der Geraden.
Antwort: Der Punkt $R$ liegt nicht auf der Geraden $g$ .
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$g:\; \vec x=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}$ ; $T (- 6 ∣ 9 ∣ 0)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichungen in der analytischen Geometrie
Lösung für den Punkt $T$
Setze den Punkt $\textcolor{orange}{T(-6|9|0)}$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung $g$ ein:
$\textcolor{orange}{\begin{pmatrix}-6\\9\\0\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}$
Damit erhältst du drei Gleichungen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&-6 & = & 2 & -&4r&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &9 &=& -1&+&5r&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;& 0 &=& 2&-&r&\end{array}$
Berechne die Werte von $r$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:\;\;\;&r & = &2&\\\mathrm{(II)}:\;\;\;\; &r &=&2&\\\mathrm{(III)}:\;\;\;\;\;&r&=&2&\end{array}$
In allen drei Gleichungen hat $r$ den gleichen Wert $2$ .
Antwort: Der Punkt $T$ liegt auf der Geraden $g$ .
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Lösung für den Punkt PPP

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Lösung für den Punkt QQQ

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Lösung für den Punkt RRR

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Lösung für den Punkt TTT

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Lösung für den Punkt $P$

Lösung für den Punkt $Q$

Lösung für den Punkt $R$

Lösung für den Punkt $T$