Aufgaben zur Lage von Punkten - lernen mit Serlo!

Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von den beiden Ebenen

$E_1:\;2x_1+2x_2-x_3=6$ und $E_2:\;-6x_1-9x_2-2x_3=22$ den gleichen Abstand hat.

Tipp: Es gibt sehr viele Punkte dieser Art.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform

Wandle beide Ebenen in die Hessesche Normalenform um:

$E_{HNF1}: \;\dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=0$ $\;\Rightarrow\;E_{HNF1}: \;\dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}=0$

$E_{HNF2}: \;\dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{\sqrt{(-6)^2+(-9)^2+(-2)^2}}=0$ $\;\Rightarrow\;E_{HNF2}: \;\dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}=0$

Für den Abstand eines Punktes $P (p_{1} ∣ p_{2} ∣ p_{3})$ von einer Ebene gilt allgemein:

$d(P,E)=\left|\dfrac{a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|$

Setzt du den Koordinatenursprung $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ in die Hesseschen Normalenformen der beiden Ebenen ein, so erhältst du in beiden Fällen den Abstand $2$ .

Rechnerischer Nachweis:

Für die Ebene $E_{1}$ folgt:

$\displaystyle d(O,E_1)$	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}\right\|$
	↓	Setze $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ ein.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{2\cdot 0+2\cdot 0-0-6}{3}\right\|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-6}{3}\right\|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle 2$

Für die Ebene $E_{2}$ folgt:

$\displaystyle d(O,E_2)$	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}\right\|$
	↓	Setze $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ ein.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-6\cdot 0-9\cdot 0-2\cdot 0-22}{11}\right\|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-22}{11}\right\|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle 2$

Beide Ebenen haben den Abstand $2$ vom Koordinatenursprung. Also ist $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ so ein gesuchter Punkt.

Alternative Lösung:

BeachteAusnahme

Die alternative Lösung funktioniert nur, wenn die beiden Ebenen nicht parallel zueinander sind.

Setze $E_{1} = E_{2}$

$\displaystyle \dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}$	$\displaystyle \cdot33$
	↓	Beseitige die Nenner durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
$\displaystyle \dfrac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}\cdot33$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}\cdot 33$
	↓	Kürze und vereinfache.
$\displaystyle 22x_1+22x_2-11x_3-66$	$=$	$\displaystyle -18x_1-27x_2-6x_3-66$	$\displaystyle +18x_1+27x_2+6x_3+66$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 40x_1+49x_2-5x_3$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die Gleichung $40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3} = 0$ erhalten. Jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

Z.B. der Punkt $P (1 ∣ 0 ∣ 8)$ erfüllt die gefundene Gleichung:

$\displaystyle 40x_1+49x_2-5x_3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $P (1 ∣ 0 ∣ 8)$ ein.
$\displaystyle 40\cdot 1+49\cdot 0-5\cdot 8$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 40+0-40$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Setzt du $P (1 ∣ 0 ∣ 8)$ in die Gleichung für die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ein, so erhältst du bei beiden Ebenen den Abstand $4$ .

Also ist auch $P (1 ∣ 0 ∣ 8)$ so ein gesuchter Punkt.

Anmerkung: Man findet noch viele weitere Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.

Graphische Darstellung mithilfe des Applets

Mit der rechten Maustaste können die Ebenen gedreht werden.

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