Wandle beide Ebenen in die Hessesche Normalenform um:

$E_{HNF1}:{\displaystyle \frac{2x_1+2x_2-x_3-6}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}}=0$ $\Rightarrow E_{HNF1}:{\displaystyle \frac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}}=0$

$E_{HNF2}:{\displaystyle \frac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{\sqrt{(-6{)}^2+(-9{)}^2+(-2{)}^2}}}=0$ $\Rightarrow E_{HNF2}:{\displaystyle \frac{-6x_1-9x_2-2x_3-22}{11}}=0$

Für den Abstand eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ von einer Ebene gilt allgemein:

$d(P,E)=\left|{\displaystyle \frac{a\cdot p_1+b\cdot p_2+c\cdot p_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\right|$

Setzt du den Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ in die Hesseschen Normalenformen der beiden Ebenen ein, so erhältst du in beiden Fällen den Abstand $2$.

Rechnerischer Nachweis:

Für die Ebene $E_1$ folgt:

Für die Ebene $E_2$ folgt:

Beide Ebenen haben den Abstand $2$ vom Koordinatenursprung. Also ist $O(0|0|0)$ so ein gesuchter Punkt.

Alternative Lösung:

Setze $E_1=E_2$

Du hast die Gleichung $40x_1+49x_2-5x_3=0$ erhalten. Jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

Z.B. der Punkt $P(1|0|8)$ erfüllt die gefundene Gleichung:

Setzt du $P(1|0|8)$ in die Gleichung für die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ein, so erhältst du bei beiden Ebenen den Abstand $4$.

Also ist auch $P(1|0|8)$ so ein gesuchter Punkt.

Anmerkung: Man findet noch viele weitere Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.

Graphische Darstellung mithilfe des Applets

Mit der rechten Maustaste können die Ebenen gedreht werden.