Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\begin{array}{llcrr}& \mathrm{I}& -1& =& 1-2\cdot r+3\cdot s\\ & \mathrm{II}& 2& =& -3+3\cdot r-4\cdot s\\ & \mathrm{III}& 1& =& 2+1\cdot r-2\cdot s\end{array}$

Umgeformt ergibt sich:

$\begin{array}{llcrr}& {\mathrm{I}}^{\prime }& -2& =& -2\cdot r+3\cdot s\\ & \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 5& =& 3\cdot r-4\cdot s\\ & \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& -1& =& 1\cdot r-2\cdot s\end{array}$$$

Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3\cdot {\mathrm{I}}^{\prime }+2\cdot \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$

$\begin{array}{ccccccc}3\cdot {\mathrm{I}}^{\prime }:& -6& =& -6\cdot r& +& 9\cdot s& \\ +2\cdot \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }:& 10& =& +6\cdot r& -& 8\cdot s& \end{array}$

$\overline{4=0\cdot r+1\cdot s}\Rightarrow s=4$

Setze $s=4$ in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und du erhältst:

Mit den Werten $r=7$ und $s=4$ werden die Gleichungen $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ überprüft.

Für Gleichung $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ erhältst du:

Für Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ erhältst du:

Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.

Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ -2\end{array}\right)$

So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\begin{array}{llcrr}& \mathrm{I}& 2& =& 1-2\cdot r+3\cdot s\\ & \mathrm{II}& 5& =& -3+3\cdot r-4\cdot s\\ & \mathrm{III}& -3& =& 2+1\cdot r-2\cdot s\end{array}$

Umgeformt ergibt sich:

$\begin{array}{llcrr}& {\mathrm{I}}^{\prime }& 1& =& -2\cdot r+3\cdot s\\ & \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 8& =& 3\cdot r-4\cdot s\\ & \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& -5& =& 1\cdot r-2\cdot s\end{array}$$$

Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3\cdot {\mathrm{I}}^{\prime }+2\cdot \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$

$\begin{array}{ccccccc}3\cdot {\mathrm{I}}^{\prime }:& 3& =& -6\cdot r& +& 9\cdot s& \\ +2\cdot \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }:& 16& =& +6\cdot r& -& 8\cdot s& \end{array}$

$\overline{19=0\cdot r+1\cdot s}\Rightarrow s=19$

Setze $s=19$ in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und du erhältst:

Mit den Werten $r=28$ und $s=19$ werden die Gleichungen $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ überprüft.

Für Gleichung $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ erhältst du:

Für Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ erhältst du:

Der Punkt Q erfüllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.

Der Ortvektor des Punktes $P$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 4\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)=0$

Berechne das Skalarprodukt:

$1\cdot 1+(-4)\cdot (-1)+4\cdot 0=1+4+0=5\ne 0$

Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.

Der Ortvektor des Punktes $Q$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 4\end{array}\right)\circ [\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)]=0$

Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:

$\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)=0$

Berechne das Skalarprodukt:

$1\cdot 0+(-4)\cdot (-1)+4\cdot (-1)=0+4-4=0✓$

Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.

Setze $P\left(1|1|5\right)$ in $2x_1-4x_2+z-3=0$ ein:

$2\cdot 1-4\cdot 1+5-3=2-4+5-3=0✓$

Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.

Setze $Q\left(3|1|6\right)$ in $2x_1-4x_2+z-3=0$ ein:

$2\cdot 3-4\cdot 1+6-3=6-4+6-3=5\ne 0$

Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.