Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.
E:X=â1â32ââ+râ ââ231ââ+sâ â3â4â2ââ und P(â1âŁ2âŁ1)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes P wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
ââ121ââ=â1â32ââ+râ ââ231ââ+sâ â3â4â2ââ
So erhÀltst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
âIIIIIIââ121â===â1â2â r+3â sâ3+3â râ4â s2+1â râ2â sâ
Umgeformt ergibt sich:
âIâČIIâČIIIâČââ25â1â===ââ2â r+3â s3â râ4â s1â râ2â sâ
Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. 3â IâČ+2â IIâČ
3â IâČ:+2â IIâČ:ââ610â==ââ6â r+6â râ+ââ9â s8â sââ
4=0â r+1â sââs=4
Setze s=4 in Gleichung IâČ ein und du erhĂ€ltst:
â2 = â2â r+3â s â setze s=4 ein
â2 = â2â r+3â 4 +2â r â2+2â r = 12 +2 2â r = 14 :2 r = 7 Mit den Werten r=7 und s=4 werden die Gleichungen IIâČ und IIIâČ ĂŒberprĂŒft.
FĂŒr Gleichung IIâČ erhĂ€ltst du:
5 = 3â râ4â s â setze r=7 und s=4 ein
5 = 3â 7â4â 4 5 = 21â16 5 = 5â FĂŒr Gleichung IIIâČ erhĂ€ltst du:
â1 = 1â râ2â s â setze r=7 und s=4 ein
â1 = 1â 7â2â 4 â1 = 7â8 â1 = â1â Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt P liegt in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfĂŒllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes P mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt fĂŒr den Vektor X der Ebene den Ortvektor des Punktes P ein).
E:X=â1â32ââ+râ ââ231ââ+sâ â3â4â2ââ und Q(2âŁ5âŁâ3)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes P wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
â25â3ââ=â1â32ââ+râ ââ231ââ+sâ â3â4â2ââ
So erhÀltst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
âIIIIIIâ25â3â===â1â2â r+3â sâ3+3â râ4â s2+1â râ2â sâ
Umgeformt ergibt sich:
âIâČIIâČIIIâČâ18â5â===ââ2â r+3â s3â râ4â s1â râ2â sâ
Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. 3â IâČ+2â IIâČ
3â IâČ:+2â IIâČ:â316â==ââ6â r+6â râ+ââ9â s8â sââ
19=0â r+1â sââs=19
Setze s=19 in Gleichung IâČ ein und du erhĂ€ltst:
1 = â2â r+3â s â setze s=19 ein
1 = â2â r+3â 19 +2â r 1+2â r = 57 â1 2â r = 56 :2 r = 28 Mit den Werten r=28 und s=19 werden die Gleichungen IIâČ und IIIâČ ĂŒberprĂŒft.
FĂŒr Gleichung IIâČ erhĂ€ltst du:
8 = 3â râ4â s â setze r=28 und s=19 ein
8 = 3â 28â4â 19 8 = 84â76 8 = 8â FĂŒr Gleichung IIIâČ erhĂ€ltst du:
â5 = 1â râ2â s â setze r=28 und s=19 ein
â5 = 1â 28â2â 19 â5 = 28â38 â5 = â10 â falsche Aussage
Der Punkt Q erfĂŒllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfĂŒllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes Q mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (du setzt fĂŒr den Vektor X der Ebene den Ortvektor des Punktes Q ein).
E:â1â44ââââXââ102âââ=0 und P(2âŁâ1âŁ2)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes P wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
â1â44âââââ2â12ââââ102âââ=0
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
â1â44ââââ1â10ââ=0
Berechne das Skalarprodukt:
1â 1+(â4)â (â1)+4â 0=1+4+0=5î =0
Der Punkt P erfĂŒllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfĂŒllt. Dazu setzt du fĂŒr den Vektor X der Ebene den Ortvektor des Punktes P ein.
E:â1â44ââââXââ102âââ=0 und Q(1âŁ1âŁ3)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes Q wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
â1â44âââââ113ââââ102âââ=0
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
â1â44ââââ011ââ=0
Berechne das Skalarprodukt:
1â 0+(â4)â (â1)+4â (â1)=0+4â4=0â
Der Punkt Q erfĂŒllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfĂŒllt. Dazu setzt du fĂŒr den Vektor X der Ebene den Ortvektor des Punktes Q ein.
E:2x1ââ4x2â+zâ3=0 und P(1âŁ1âŁ5)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze P(1âŁ1âŁ5) in 2x1ââ4x2â+zâ3=0 ein:
2â 1â4â 1+5â3=2â4+5â3=0â
Der Punkt P erfĂŒllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfĂŒllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes P in die Ebenengleichung eingesetzt.
ï»żE:2x1ââ4x2â+zâ3=0 und ï»żQ(3âŁ1âŁ6)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze Q(3âŁ1âŁ6) in 2x1ââ4x2â+zâ3=0 ein:
2â 3â4â 1+6â3=6â4+6â3=5î =0
Der Punkt Q erfĂŒllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfĂŒllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes Q in die Ebenengleichung eingesetzt.
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