Die Formel für die Geradengleichung lautet:

$\vec{X}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$

Der Aufpunkt ist: $\vec{A}= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor ist:

$\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -8 \end{pmatrix}$

$C(3|4|1)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:

$\vec{C}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ -8 \end{pmatrix}$

Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:

$3=3+ \lambda \cdot (-5) \Rightarrow \lambda = 0$

$4=-1+ \lambda \cdot 3 \Rightarrow \lambda= \frac{5}{3}$

$1=5+ \lambda \cdot (-8) \Rightarrow \lambda= \frac{1}{2}$

Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für $\lambda$. Der Punkt $C$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{AB}$.

Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.

Alternative Rechnung

Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ Vielfache voneinander sein.

$\overrightarrow{AC}=\vec C-\vec A= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}$

Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors $\overrightarrow{AB}$ ist, da die erste Komponente von $\overrightarrow{AC}$ Null ist und daher $\overrightarrow{AC}$ das Nullfache von $\overrightarrow{AB}$ sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.

Die Formel für die Geradengleichung lautet:

$\vec{X}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$

Der Aufpunkt ist: $\vec{A}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor ist:

$\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$C(-4|-7|-0{,}5)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:

$\vec{C}=\vec{A}+ \lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$-4=1+ \lambda \cdot 2 \Rightarrow \lambda = -2{,}5$

$-7=-2+ \lambda \cdot 2 \Rightarrow \lambda= -2{,}5$

$-0{,}5=2+ \lambda \cdot 1 \Rightarrow \lambda= -2{,}5$

Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei gleiche Werte für $\lambda$. Somit liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $g_{AB}$. Daraus folgt, dass es sich hierbei nicht um ein Dreieck handelt.