Die Formel für die Geradengleichung lautet:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}$

Der Aufpunkt ist: $\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)$

Der Richtungsvektor ist:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -8\end{array}\right)$

$C(3|4|1)$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:

$\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -8\end{array}\right)$

Zeilenweise erhalten wir daraus drei Gleichungen:

$3=3+\lambda \cdot (-5)\Rightarrow \lambda =0$

$4=-1+\lambda \cdot 3\Rightarrow \lambda =\frac{5}{3}$

$1=5+\lambda \cdot (-8)\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2}$

Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei unterschiedliche Werte für $\lambda$. Der Punkt $C$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{AB}$.

Daraus folgt, dass es sich hierbei um ein Dreieck handelt.

Alternative Rechnung

Die drei Punkte bilden nur dann kein Dreieck, wenn sie auf einer Geraden liegen. Dazu müssten die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ Vielfache voneinander sein.

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 5\\ -4\end{array}\right)$

Du erkennst direkt, dass dieser Vektor kein Vielfaches des oben berechneten Vektors $\overrightarrow{AB}$ ist, da die erste Komponente von $\overrightarrow{AC}$ Null ist und daher $\overrightarrow{AC}$ das Nullfache von $\overrightarrow{AB}$ sein müsste, was offensichtlich nicht der Fall ist.

Die Formel für die Geradengleichung lautet:

$\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}$

Der Aufpunkt ist: $\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Der Richtungsvektor ist:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

$C(-4|-7|-\mathrm{0,5})$ wird in die Geradengleichung eingesetzt:

$\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

$-4=1+\lambda \cdot 2\Rightarrow \lambda =-\mathrm{2,5}$

$-7=-2+\lambda \cdot 2\Rightarrow \lambda =-\mathrm{2,5}$

$-\mathrm{0,5}=2+\lambda \cdot 1\Rightarrow \lambda =-\mathrm{2,5}$

Aus den drei Gleichungen ergeben sich drei gleiche Werte für $\lambda$. Somit liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $g_{AB}$. Daraus folgt, dass es sich hierbei nicht um ein Dreieck handelt.