Aufgaben zur Lage von Punkten - lernen mit Serlo!

Untersuche die Lagebeziehung der Punkte zu den Geraden.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert4\vert-2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert4\vert-2)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
$\displaystyle 2-1\cdot r$ $=$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+r$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle r$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
Für $\mathrm r=1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade erfüllt. Der Punkt liegt also auf der Geraden.
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$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert-3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ und Punkt $\mathrm P(1\vert-3\vert-3)$
Der Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn er die Lösung des
von der Gerade $g$ gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}$
Betrachte eine beliebige x-Koordinate, um den Parameter $r$ zu bestimmen.
$\displaystyle 2-1\cdot r$ $=$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 1+r$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle r$ $=$ $\displaystyle 1$
Setze $r$ in die obige Gleichung ein:
$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$
Für $\mathrm r=1$ ist die Gleichung zwischen Punkt und Gerade nicht erfüllt. Die Gleichung ist aber auch für keinen anderen Parameterwert erfüllt, da sich die ${\mathrm x}_1$ -Koordinate für alle anderen Werte von $r$ von der des Punktes unterscheidet. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.
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$\displaystyle 2-1\cdot r$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +r$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1+r$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 1$

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