Lagebeziehung Punkt-Parallelogramm (Inzidenz)

Vorgehensweise

Gegeben sind vier Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$, die im Raum ein Parallelogramm bilden. Ein weiterer Punkt $P$ ist gegeben. Liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$?

Erstelle die Parameterform der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

• Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter $r$ und $s$. Dann ist die Bedingung $\mathrm{I.}\;P\in E$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

• Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannte Bedingung $\mathrm{II.}$ Dann liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm.

• Fall 1 b): Die Bedingung $\mathrm{II.}$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm.

• Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ und auch nicht im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt $P$ liegt im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|4)$, $B(1|3|5)$, $C(-2|5|4)$, $D(-1|2|3)$ und der Punkt $P(0|2{,}5|4)$. Liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$?

Erstelle mit $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

$E_{ABD}:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AD}$

$E_{ABD}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}0 \\ 2{,}5\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-2 \\ 2{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-2&=&-1\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &2{,}5&=&3\cdot r&+&2 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&1\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}+\mathrm{(III)}:\;-2=-4s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{1}{2}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}\;$folgt: $0=1\cdot r-\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}$

Probe in Gleichung $\mathrm{(II)}:\;2{,}5=3\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\;\checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=\dfrac{1}{2}$ und $s=\dfrac{1}{2}$ erhalten, d.h. Bedingung $\mathrm{I.}\;P \in E_{ABD}$ ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich $1$, d.h. Bedingung $\mathrm{II.}\;0\leq r,s\leq 1$ ist auch erfüllt. Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt $P$ liegt nicht im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|4)$, $B(1|3|5)$, $C(-2|5|4),$ $D(-1|2|3)$ und der Punkt $P(-3|4{,}5|3)$. Liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$?

Erstelle mit $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

$E_{ABD}:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AD}$

$E_{ABD}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}-3 \\ 4{,}5\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-5 \\ 4{,}5 \\ -1 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-5&=&-1\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &4{,}5&=&3\cdot r&+&2 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &-1&=&1\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}+\mathrm{(III)}:\;-6=-4s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{3}{2}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}\;$folgt: $-1=1\cdot r-\dfrac{3}{2}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}$

Probe in Gleichung $\mathrm{(II)}:\;4{,}5=3\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{3}{2}=4{,}5\;\checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=\dfrac{1}{2}$ und $s=\dfrac{3}{2}$ erhalten, d.h. Bedingung $\mathrm{I.}\;P \in E_{ABD}$ ist erfüllt. Aber der Parameterwert $s$ ist größer als $1$, d.h. er liegt nicht zwischen $0$ und $1$. Die Bedingung $\mathrm{II.}\;0\leq r,s\leq 1$ ist nicht erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt zwar in der Ebene $E_{ABD}$, in der das Parallelogramm liegt, aber nicht im Parallelogramm.