Lagebeziehung Punkt-Parallelogramm (Inzidenz)

Vorgehensweise

Gegeben sind vier Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$, die im Raum ein Parallelogramm bilden. Ein weiterer Punkt $P$ ist gegeben. Liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$?

Erstelle die Parameterform der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

• Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter $r$ und $s$. Dann ist die Bedingung $\mathrm{I}.P\in E$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

• Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannte Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ Dann liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm.

• Fall 1 b): Die Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm.

• Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ und auch nicht im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt $P$ liegt im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|4)$, $B(1|3|5)$, $C(-2|5|4)$, $D(-1|2|3)$ und der Punkt $P(0|\mathrm{2,5}|4)$. Liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$?

Erstelle mit $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

$E_{ABD}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AD}$

$E_{ABD}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{2,5}\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-2\\ \mathrm{2,5}\\ 0\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{rrrrrcrr}& (\mathrm{I}):& & -2& =& -1\cdot r& -& 3\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & \mathrm{2,5}& =& 3\cdot r& +& 2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& & 0& =& 1\cdot r& -& 1\cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})+(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-2=-4s\Rightarrow s={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$folgt: $0=1\cdot r-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}):\mathrm{2,5}=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}✓$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ erhalten, d.h. Bedingung $\mathrm{I}.P\in E_{ABD}$ ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich $1$, d.h. Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}.0\le r,s\le 1$ ist auch erfüllt. Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt $P$ liegt nicht im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|4)$, $B(1|3|5)$, $C(-2|5|4),$ $D(-1|2|3)$ und der Punkt $P(-3|\mathrm{4,5}|3)$. Liegt der Punkt $P$ im Parallelogramm $ABCD$?

Erstelle mit $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

$E_{ABD}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AD}$

$E_{ABD}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\left(\begin{array}{c}-3\\ \mathrm{4,5}\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-5\\ \mathrm{4,5}\\ -1\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{rrrrrcrr}& (\mathrm{I}):& & -5& =& -1\cdot r& -& 3\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & \mathrm{4,5}& =& 3\cdot r& +& 2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& & -1& =& 1\cdot r& -& 1\cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})+(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-6=-4s\Rightarrow s={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$folgt: $-1=1\cdot r-{\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}):\mathrm{4,5}=3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{4,5}✓$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $s={\displaystyle \frac{3}{2}}$ erhalten, d.h. Bedingung $\mathrm{I}.P\in E_{ABD}$ ist erfüllt. Aber der Parameterwert $s$ ist größer als $1$, d.h. er liegt nicht zwischen $0$ und $1$. Die Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}.0\le r,s\le 1$ ist nicht erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt zwar in der Ebene $E_{ABD}$, in der das Parallelogramm liegt, aber nicht im Parallelogramm.