Die vier Punkte A, B, C, und D bilden im Raum ein Parallelogramm.
Die vier Punkte liegen dann in einer Ebene E.
Wann liegt ein beliebiger Punkt P im Parallelogramm?
Der Punkt P liegt dann im Parallelogramm, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
I.P∈E und
II.0≤r,s≤1
Vorgehensweise
Gegeben sind vier Punkte A, B, C und D, die im Raum ein Parallelogramm bilden. Ein weiterer Punkt P ist gegeben. Liegt der Punkt P im Parallelogramm ABCD?
Erstelle die Parameterform der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter r und s. Dann ist die Bedingung I.P∈E ist erfüllt, der Punkt P liegt in der Ebene E.
Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannte Bedingung II. Dann liegt der Punkt P im Parallelogramm.
Fall 1 b): Die Bedingung II. ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm.
Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene E und auch nicht im Parallelogramm.
Beispiel der Punkt P liegt im Parallelogramm
Gegeben sind die Punkte A(2∣0∣4), B(1∣3∣5), C(−2∣5∣4), D(−1∣2∣3) und der Punkt P(0∣2,5∣4). Liegt der Punkt P im Parallelogramm ABCD?
Erstelle mit 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
EABD:X=OA+r⋅AB+s⋅AD
EABD:X=204+r⋅−131+s⋅−32−1
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. (I)+(III):−2=−4s⇒s=21
Aus Gleichung (III)folgt: 0=1⋅r−21⇒r=21
Probe in Gleichung (II):2,5=3⋅21+2⋅21=25✓
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=21 und s=21 erhalten, d.h. Bedingung I.P∈EABD ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 1, d.h. Bedingung II.0≤r,s≤1 ist auch erfüllt. Ergebnis: Der Punkt P liegt im Parallelogramm.
Beispiel der Punkt P liegt nicht im Parallelogramm
Gegeben sind die Punkte A(2∣0∣4), B(1∣3∣5), C(−2∣5∣4),D(−1∣2∣3) und der Punkt P(−3∣4,5∣3). Liegt der Punkt P im Parallelogramm ABCD?
Erstelle mit 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
EABD:X=OA+r⋅AB+s⋅AD
EABD:X=204+r⋅−131+s⋅−32−1
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. (I)+(III):−6=−4s⇒s=23
Aus Gleichung (III)folgt: −1=1⋅r−23⇒r=21
Probe in Gleichung (II):4,5=3⋅21+2⋅23=4,5✓
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=21 und s=23 erhalten, d.h. Bedingung I.P∈EABD ist erfüllt. Aber der Parameterwert s ist größer als 1, d.h. er liegt nicht zwischen 0 und 1. Die Bedingung II.0≤r,s≤1 ist nicht erfüllt.
Ergebnis: Der Punkt P liegt zwar in der Ebene EABD, in der das Parallelogramm liegt, aber nicht im Parallelogramm.