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Lagebeziehung Punkt-Parallelogramm (Inzidenz)

Die vier Punkte A, B, C, und D bilden im Raum ein Parallelogramm.

Die vier Punkte liegen dann in einer Ebene E.

Wann liegt ein beliebiger Punkt P im Parallelogramm?

Der Punkt P liegt dann im Parallelogramm, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

I.PE und

II.0r,s1

Punkt in einem Parallelogramm

Vorgehensweise

Gegeben sind vier Punkte A, B, C und D, die im Raum ein Parallelogramm bilden. Ein weiterer Punkt P ist gegeben. Liegt der Punkt P im Parallelogramm ABCD?

Erstelle die Parameterform der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.

EABD:X=OA+rAB+sAD

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:

OP=OA+rAB+sAD

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

  • Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter r und s. Dann ist die Bedingung I.PE ist erfüllt, der Punkt P liegt in der Ebene E.

  • Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannte Bedingung II. Dann liegt der Punkt P im Parallelogramm.

  • Fall 1 b): Die Bedingung II. ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm.

  • Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene E und auch nicht im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt P liegt im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte A(2|0|4), B(1|3|5), C(2|5|4), D(1|2|3) und der Punkt P(0|2,5|4). Liegt der Punkt P im Parallelogramm ABCD?

Erstelle mit 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABD:X=OA+rAB+sAD

EABD:X=(204)+r(131)+s(321)

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:

(02,54)=(204)+r(131)+s(321)(22,50)=r(131)+s(321)

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):2=1r3s(II):2,5=3r+2s(III):0=1r1s

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)+(III):2=4ss=12

Aus Gleichung (III)folgt: 0=1r12r=12

Probe in Gleichung (II):2,5=312+212=52

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=12 und s=12 erhalten, d.h. Bedingung I.PEABD ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 1, d.h. Bedingung II.0r,s1 ist auch erfüllt. Ergebnis: Der Punkt P liegt im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt P liegt nicht im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte A(2|0|4), B(1|3|5), C(2|5|4), D(1|2|3) und der Punkt P(3|4,5|3). Liegt der Punkt P im Parallelogramm ABCD?

Erstelle mit 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABD:X=OA+rAB+sAD

EABD:X=(204)+r(131)+s(321)

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:

(34,53)=(204)+r(131)+s(321)(54,51)=r(131)+s(321)

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):5=1r3s(II):4,5=3r+2s(III):1=1r1s

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)+(III):6=4ss=32

Aus Gleichung (III)folgt: 1=1r32r=12

Probe in Gleichung (II):4,5=312+232=4,5

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=12 und s=32 erhalten, d.h. Bedingung I.PEABD ist erfüllt. Aber der Parameterwert s ist größer als 1, d.h. er liegt nicht zwischen 0 und 1. Die Bedingung II.0r,s1 ist nicht erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt P liegt zwar in der Ebene EABD, in der das Parallelogramm liegt, aber nicht im Parallelogramm.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Lage von Punkten

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