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Lagebeziehung Punkt-Parallelogramm (Inzidenz)

Die vier Punkte AA, BB, CC, und DD bilden im Raum ein Parallelogramm.

Die vier Punkte liegen dann in einer Ebene EE.

Wann liegt ein beliebiger Punkt PP im Parallelogramm?

Der Punkt PP liegt dann im Parallelogramm, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

I.  P∈E\mathrm{I.}\;P \in E und

II.  0≤r,s≤1\mathrm{II.}\;0\leq r,s\leq 1

Punkt in einem Parallelogramm

Vorgehensweise

Gegeben sind vier Punkte AA, BB, CC und DD, die im Raum ein Parallelogramm bilden. Ein weiterer Punkt PP ist gegeben. Liegt der Punkt PP im Parallelogramm ABCDABCD?

Erstelle die Parameterform der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.

EABD:  X⃗=OA→+r⋅AB→+s⋅AD→\displaystyle E_{ABD}:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AD}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X⃗\vec X den Vektor OP→\overrightarrow{OP} ein:

OP→=OA→+r⋅AB→+s⋅AD→\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

  • Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter rr und ss. Dann ist die Bedingung I.  P∈E\mathrm{I.}\;P\in E ist erfüllt, der Punkt PP liegt in der Ebene EE.

  • Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannte Bedingung II.\mathrm{II.} Dann liegt der Punkt PP im Parallelogramm.

  • Fall 1 b): Die Bedingung II.\mathrm{II.} ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene, aber nicht im Parallelogramm.

  • Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt PP nicht in der Ebene EE und auch nicht im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt PP liegt im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte A(2∣0∣4)A(2|0|4), B(1∣3∣5)B(1|3|5), C(−2∣5∣4)C(-2|5|4), D(−1∣2∣3)D(-1|2|3) und der Punkt P(0∣2,5∣4)P(0|2{,}5|4). Liegt der Punkt PP im Parallelogramm ABCDABCD?

Erstelle mit 33 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABD:  X⃗=OA→+r⋅AB→+s⋅AD→E_{ABD}:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AD}

EABD:  X⃗=(204)+r⋅(−131)+s⋅(−32−1)E_{ABD}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X⃗\vec X den Vektor OP→\overrightarrow{OP} ein:

(02,54)=(204)+r⋅(−131)+s⋅(−32−1)  ⇒  (−22,50)=r⋅(−131)+s⋅(−32−1)\begin{pmatrix}0 \\ 2{,}5\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-2 \\ 2{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):    −2=−1⋅r−3⋅s(II):2,5=3⋅r+2⋅s(III):0=1⋅r−1⋅s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-2&=&-1\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &2{,}5&=&3\cdot r&+&2 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&1\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)+(III):  −2=−4s  ⇒  s=12 \mathrm{(I)}+\mathrm{(III)}:\;-2=-4s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{1}{2}

Aus Gleichung (III)  \mathrm{(III)}\;folgt: 0=1⋅r−12  ⇒  r=12 0=1\cdot r-\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}

Probe in Gleichung (II):  2,5=3⋅12+2⋅12=52  ✓ \mathrm{(II)}:\;2{,}5=3\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\;\checkmark

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=12r=\dfrac{1}{2} und s=12s=\dfrac{1}{2} erhalten, d.h. Bedingung I.  P∈EABD\mathrm{I.}\;P \in E_{ABD} ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 11, d.h. Bedingung II.  0≤r,s≤1\mathrm{II.}\;0\leq r,s\leq 1 ist auch erfüllt. Ergebnis: Der Punkt PP liegt im Parallelogramm.

Beispiel der Punkt PP liegt nicht im Parallelogramm

Gegeben sind die Punkte A(2∣0∣4)A(2|0|4), B(1∣3∣5)B(1|3|5), C(−2∣5∣4),C(-2|5|4), D(−1∣2∣3)D(-1|2|3) und der Punkt P(−3∣4,5∣3)P(-3|4{,}5|3). Liegt der Punkt PP im Parallelogramm ABCDABCD?

Erstelle mit 33 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABD:  X⃗=OA→+r⋅AB→+s⋅AD→E_{ABD}:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AD}

EABD:  X⃗=(204)+r⋅(−131)+s⋅(−32−1)E_{ABD}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X⃗\vec X den Vektor OP→\overrightarrow{OP} ein:

(−34,53)=(204)+r⋅(−131)+s⋅(−32−1)  ⇒  (−54,5−1)=r⋅(−131)+s⋅(−32−1)\begin{pmatrix}-3 \\ 4{,}5\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-5 \\ 4{,}5 \\ -1 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):    −5=−1⋅r−3⋅s(II):4,5=3⋅r+2⋅s(III):−1=1⋅r−1⋅s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-5&=&-1\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &4{,}5&=&3\cdot r&+&2 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &-1&=&1\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)+(III):  −6=−4s  ⇒  s=32 \mathrm{(I)}+\mathrm{(III)}:\;-6=-4s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{3}{2}

Aus Gleichung (III)  \mathrm{(III)}\;folgt: −1=1⋅r−32  ⇒  r=12 -1=1\cdot r-\dfrac{3}{2}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}

Probe in Gleichung (II):  4,5=3⋅12+2⋅32=4,5  ✓ \mathrm{(II)}:\;4{,}5=3\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{3}{2}=4{,}5\;\checkmark

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=12r=\dfrac{1}{2} und s=32s=\dfrac{3}{2} erhalten, d.h. Bedingung I.  P∈EABD\mathrm{I.}\;P \in E_{ABD} ist erfüllt. Aber der Parameterwert ss ist größer als 11, d.h. er liegt nicht zwischen 00 und 11. Die Bedingung II.  0≤r,s≤1\mathrm{II.}\;0\leq r,s\leq 1 ist nicht erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt PP liegt zwar in der Ebene EABDE_{ABD}, in der das Parallelogramm liegt, aber nicht im Parallelogramm.

Übungsaufgaben

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Aufgaben zur Lage von Punkten

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