Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)

Ebenenformen

1. Parameterform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

$E:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u +s\cdot \vec v$

Dabei ist $A$ der Aufpunkt und $\vec u$ und $\vec v$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u +s\cdot \vec v$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann liegt der Punkt $P$ in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene.

Beispiel Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung $E$ und der Punkt $P$:

$E:\;\vec X=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$und $P(9|3|6)$

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}9 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}8 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&8&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &1&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &4&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;4=-2s\;\Rightarrow\;s=-2$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}\;$folgt: $4=2\cdot r-(-2)\;\Rightarrow\;r=1$

Probe in Gleichung $\mathrm{(II)}:\;1=-1-(-2)=1\;\checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=1$ und $s=-2$ erhalten.

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Beispiel Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung $E$ und der Punkt $P$:

und $P(8|2|8)$. Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&7&=&2\cdot r&+&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &0&=&-1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &6&=&2\cdot r&+&2 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;1=s$

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}\;$folgt: $r=s\;\Rightarrow\;r=1$

Probe in Gleichung $\mathrm{(III)}:\;6=2\cdot1+2\cdot 1=4$$\;\Rightarrow\;6\neq4$

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$.

2. Normalenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\overrightarrow{OX}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Berechne die Vektordifferenz und dann das Skalarprodukt.

Ist das Skalarprodukt gleich $0$, dann liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$. Ist das Skalarprodukt ungleich $0$, dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$.

Beispiel Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung $E$ und der Punkt $P$:

und $P(3|2|1)$. Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{OX}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Berechne die Vektordifferenz:

Berechne das Skalarprodukt:

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist gleich $0$, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Beispiel Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung $E$ und der Punkt $P$:

$E:\;\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=0$ und $P(3|-2|4)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{OX}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Berechne die Vektordifferenz:

Berechne das Skalarprodukt:

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist ungleich $0$, d.h. der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$.

3. Koordinatenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

$E:\;ax_1+bx_2+cx_3-d=0$

Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in die Koordinatengleichung ein:

Ergibt sich eine wahre Aussage, dann liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$.

Ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$.

Beispiel Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$ (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung $E$ und der Punkt $P$:

$E:\; 3x_1-2x_2+4x_3=12$ und $P(4|2|1)$

Führe eine Punktprobe durch:

Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in die Koordinatengleichung ein.

$3\cdot 4-2\cdot 2+4\cdot 1\stackrel{?}{=}12$

$12-4+4=12 \;\checkmark$

Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.

Beispiel Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung $E$ und der Punkt $P$:

$E:\; 3x_1+4x_2-2x_3=8$ und $P(2|-2|-1)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in die Koordinatengleichung ein.

$3\cdot 2+4\cdot (-2)-2\cdot (-1)\stackrel{?}{=}8$

$6-8+2=0 \;\Rightarrow\;0\neq8$

Du hast eine falsche Aussage erhalten, d.h. der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$.