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Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)

Punkt in einer Ebene

In der analytischen Geometrie wird eine Ebene im Raum durch eine Vektorgleichung dargestellt.

Für diese Vektorgleichung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform).

Wann liegt ein Punkt PP in einer Ebene EE?

Je nach Ebenenform ergeben sich unterschiedliche Lösungswege.

Ebenenformen

1. Parameterform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

E:  X=OA+ru+svE:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u +s\cdot \vec v

Dabei ist AA der Aufpunkt und u\vec u und v\vec v sind die Richtungsvektoren der Ebene.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

OP=OA+ru+sv\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u +s\cdot \vec v

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann liegt der Punkt PP in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt der Punkt PP nicht in der Ebene.

Beispiel Punkt PP liegt in der Ebene EE (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung EE und der Punkt PP:

E:  X=(122)+r(212)+s(311)E:\;\vec X=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}und P(936)P(9|3|6)

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

(936)=(122)+r(212)+s(311)    (814)=r(212)+s(311)\begin{pmatrix}9 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}8 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):    8=2r3s(II):1=1r1s(III):4=2r1s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&8&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &1&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &4&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)(III):  4=2s    s=2 \mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;4=-2s\;\Rightarrow\;s=-2

Aus Gleichung (III)  \mathrm{(III)}\;folgt: 4=2r(2)    r=1 4=2\cdot r-(-2)\;\Rightarrow\;r=1

Probe in Gleichung (II):  1=1(2)=1   \mathrm{(II)}:\;1=-1-(-2)=1\;\checkmark

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=1r=1 und s=2s=-2 erhalten.

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt PP liegt in der Ebene EE.

Beispiel Punkt PP liegt nicht in der Ebene EE (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung EE und der Punkt PP:

und P(828)P(8|2|8). Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):    7=2r+3s(II):0=1r+1s(III):6=2r+2s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&7&=&2\cdot r&+&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &0&=&-1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &6&=&2\cdot r&+&2 \cdot s\end{array}

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)(III):  1=s \mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;1=s

Aus Gleichung (II)  \mathrm{(II)}\;folgt: r=s    r=1 r=s\;\Rightarrow\;r=1

Probe in Gleichung (III):  6=21+21=4 \mathrm{(III)}:\;6=2\cdot1+2\cdot 1=4    64\;\Rightarrow\;6\neq4

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Ergebnis: Der Punkt PP liegt nicht in der Ebene EE.

2. Normalenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für OX\overrightarrow{OX} den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Berechne die Vektordifferenz und dann das Skalarprodukt.

Ist das Skalarprodukt gleich 00, dann liegt der Punkt PP in der Ebene EE. Ist das Skalarprodukt ungleich 00, dann liegt der Punkt PP nicht in der Ebene EE.

Beispiel Punkt PP liegt in der Ebene EE (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung EE und der Punkt P P:

und P(321)P(3|2|1). Führe eine Punktprobe durch. Setze für OX\overrightarrow{OX} den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Berechne die Vektordifferenz:

Berechne das Skalarprodukt:

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist gleich 00, d.h. der Punkt PP liegt in der Ebene EE.

Beispiel Punkt PP liegt nicht in der Ebene EE (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung EE und der Punkt P P:

E:  [OX(423)](123)=0E:\;\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=0 und P(324)P(3|-2|4)

Führe eine Punktprobe durch. Setze für OX\overrightarrow{OX} den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Berechne die Vektordifferenz:

Berechne das Skalarprodukt:

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist ungleich 00, d.h. der Punkt PP liegt nicht in der Ebene EE.

3. Koordinatenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

E:  ax1+bx2+cx3d=0E:\;ax_1+bx_2+cx_3-d=0

Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes PP in die Koordinatengleichung ein:

Ergibt sich eine wahre Aussage, dann liegt der Punkt PP in der Ebene EE.

Ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt PP nicht in der Ebene EE.

Beispiel Punkt PP liegt in der Ebene EE (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung EE und der Punkt P P:

E:  3x12x2+4x3=12E:\; 3x_1-2x_2+4x_3=12 und P(421)P(4|2|1)

Führe eine Punktprobe durch:

Setze die Koordinaten des Punktes PP in die Koordinatengleichung ein.

3422+41=?123\cdot 4-2\cdot 2+4\cdot 1\stackrel{?}{=}12

124+4=12  12-4+4=12 \;\checkmark

Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. der Punkt PP liegt in der Ebene EE.

Beispiel Punkt PP liegt nicht in der Ebene EE (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung EE und der Punkt P P:

E:  3x1+4x22x3=8E:\; 3x_1+4x_2-2x_3=8 und P(221)P(2|-2|-1)

Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes PP in die Koordinatengleichung ein.

32+4(2)2(1)=?83\cdot 2+4\cdot (-2)-2\cdot (-1)\stackrel{?}{=}8

68+2=0    086-8+2=0 \;\Rightarrow\;0\neq8

Du hast eine falsche Aussage erhalten, d.h. der Punkt PP liegt nicht in der Ebene EE.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Lage von Punkten

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