In der analytischen Geometrie wird eine Ebene im Raum durch eine Vektorgleichung dargestellt.
Für diese Vektorgleichung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten (Parameterform , Normalenform , Koordinatenform ).
Wann liegt ein Punkt P P P in einer Ebene E E E ?
Je nach Ebenenform ergeben sich unterschiedliche Lösungswege.
Ebenenformen 1. Parameterform Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:
E : X ⃗ = O A → + r ⋅ u ⃗ + s ⋅ v ⃗ E:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u +s\cdot \vec v E : X = O A + r ⋅ u + s ⋅ v
Dabei ist A A A der Aufpunkt und u ⃗ \vec u u und v ⃗ \vec v v sind die Richtungsvektoren der Ebene.
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für X ⃗ \vec X X den Vektor O P → \overrightarrow{OP} OP ein:
O P → = O A → + r ⋅ u ⃗ + s ⋅ v ⃗ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec u +s\cdot \vec v OP = O A + r ⋅ u + s ⋅ v
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann liegt der Punkt P P P in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt der Punkt P P P nicht in der Ebene.
Beispiel Punkt P P P liegt in der Ebene E E E (Parameterform) Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung E E E und der Punkt P P P :
E : X ⃗ = ( 1 2 2 ) + r ⋅ ( 2 − 1 2 ) + s ⋅ ( − 3 − 1 − 1 ) E:\;\vec X=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} E : X = 1 2 2 + r ⋅ 2 − 1 2 + s ⋅ − 3 − 1 − 1 und P ( 9 ∣ 3 ∣ 6 ) P(9|3|6) P ( 9∣3∣6 )
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für X ⃗ \vec X X den Vektor O P → \overrightarrow{OP} OP ein:
( 9 3 6 ) = ( 1 2 2 ) + r ⋅ ( 2 − 1 2 ) + s ⋅ ( − 3 − 1 − 1 ) ⇒ ( 8 1 4 ) = r ⋅ ( 2 − 1 2 ) + s ⋅ ( − 3 − 1 − 1 ) \begin{pmatrix}9 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}8 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} 9 3 6 = 1 2 2 + r ⋅ 2 − 1 2 + s ⋅ − 3 − 1 − 1 ⇒ 8 1 4 = r ⋅ 2 − 1 2 + s ⋅ − 3 − 1 − 1
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
( I ) : 8 = 2 ⋅ r − 3 ⋅ s ( I I ) : 1 = − 1 ⋅ r − 1 ⋅ s ( I I I ) : 4 = 2 ⋅ r − 1 ⋅ s \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&8&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &1&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &4&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}
( I ) : ( II ) : ( III ) : 8 1 4 = = = 2 ⋅ r − 1 ⋅ r 2 ⋅ r − − − 3 ⋅ s 1 ⋅ s 1 ⋅ s
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. ( I ) − ( I I I ) : 4 = − 2 s ⇒ s = − 2 \mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;4=-2s\;\Rightarrow\;s=-2 ( I ) − ( III ) : 4 = − 2 s ⇒ s = − 2
Aus Gleichung ( I I I ) \mathrm{(III)}\; ( III ) folgt: 4 = 2 ⋅ r − ( − 2 ) ⇒ r = 1 4=2\cdot r-(-2)\;\Rightarrow\;r=1 4 = 2 ⋅ r − ( − 2 ) ⇒ r = 1
Probe in Gleichung ( I I ) : 1 = − 1 − ( − 2 ) = 1 ✓ \mathrm{(II)}:\;1=-1-(-2)=1\;\checkmark ( II ) : 1 = − 1 − ( − 2 ) = 1 ✓
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r = 1 r=1 r = 1 und s = − 2 s=-2 s = − 2 erhalten.
Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt P P P liegt in der Ebene E E E .
Beispiel Punkt P P P liegt nicht in der Ebene E E E (Parameterform) Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung E E E und der Punkt P P P :
E : X ⃗ = ( 1 2 2 ) + r ⋅ ( 2 − 1 2 ) + s ⋅ ( 3 1 2 ) \displaystyle E:\;\vec X=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} E : X = 1 2 2 + r ⋅ 2 − 1 2 + s ⋅ 3 1 2 und P ( 8 ∣ 2 ∣ 8 ) P(8|2|8) P ( 8∣2∣8 ) . Führe eine Punktprobe durch. Setze für X ⃗ \vec X X den Vektor O P → \overrightarrow{OP} OP ein:
( 8 2 8 ) = ( 1 2 2 ) + r ⋅ ( 2 − 1 2 ) + s ⋅ ( 3 1 2 ) ⇒ ( 7 0 6 ) = r ⋅ ( 2 − 1 2 ) + s ⋅ ( 3 1 2 ) \displaystyle \begin{pmatrix}8 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}7 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} 8 2 8 = 1 2 2 + r ⋅ 2 − 1 2 + s ⋅ 3 1 2 ⇒ 7 0 6 = r ⋅ 2 − 1 2 + s ⋅ 3 1 2 Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
( I ) : 7 = 2 ⋅ r + 3 ⋅ s ( I I ) : 0 = − 1 ⋅ r + 1 ⋅ s ( I I I ) : 6 = 2 ⋅ r + 2 ⋅ s \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&7&=&2\cdot r&+&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &0&=&-1\cdot r&+&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &6&=&2\cdot r&+&2 \cdot s\end{array}
( I ) : ( II ) : ( III ) : 7 0 6 = = = 2 ⋅ r − 1 ⋅ r 2 ⋅ r + + + 3 ⋅ s 1 ⋅ s 2 ⋅ s
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. ( I ) − ( I I I ) : 1 = s \mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;1=s ( I ) − ( III ) : 1 = s
Aus Gleichung ( I I ) \mathrm{(II)}\; ( II ) folgt: r = s ⇒ r = 1 r=s\;\Rightarrow\;r=1 r = s ⇒ r = 1
Probe in Gleichung ( I I I ) : 6 = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = 4 \mathrm{(III)}:\;6=2\cdot1+2\cdot 1=4 ( III ) : 6 = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = 4 ⇒ 6 ≠ 4 \;\Rightarrow\;6\neq4 ⇒ 6 = 4
Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Ergebnis: Der Punkt P P P liegt nicht in der Ebene E E E .
2. Normalenform Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:
E : ( O X → − O A → ) ∘ n ⃗ = 0 \displaystyle E: \; \left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)\circ\vec n=0
E : ( OX − O A ) ∘ n = 0 Führe eine Punktprobe durch:
Setze für O X → \overrightarrow{OX} OX den Vektor O P → \overrightarrow{OP} OP ein:
( O P → − O A → ) ∘ n ⃗ = 0 \displaystyle \left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right)\circ\vec{n}=0 ( OP − O A ) ∘ n = 0 Berechne die Vektordifferenz und dann das Skalarprodukt .
Ist das Skalarprodukt gleich 0 0 0 , dann liegt der Punkt P P P in der Ebene E E E . Ist das Skalarprodukt ungleich 0 0 0 , dann liegt der Punkt P P P nicht in der Ebene E E E .
Beispiel Punkt P P P liegt in der Ebene E E E (Normalenform) Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung E E E und der Punkt P P P :
E : [ O X → − ( 1 2 3 ) ] ∘ ( 1 − 2 1 ) = 0 \displaystyle E:\;\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=0 E : OX − 1 2 3 ∘ 1 − 2 1 = 0 und P ( 3 ∣ 2 ∣ 1 ) P(3|2|1) P ( 3∣2∣1 ) . Führe eine Punktprobe durch. Setze für O X → \overrightarrow{OX} OX den Vektor O P → \overrightarrow{OP} OP ein:
[ ( 3 2 1 ) − ( 1 2 3 ) ] ∘ ( 1 − 2 1 ) = 0 \displaystyle \left[\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=0 3 2 1 − 1 2 3 ∘ 1 − 2 1 = 0 Berechne die Vektordifferenz:
( 2 0 − 2 ) ∘ ( 1 − 2 1 ) = 0 \displaystyle \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=0
2 0 − 2 ∘ 1 − 2 1 = 0 Berechne das Skalarprodukt:
2 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 2 ) + ( − 2 ) ⋅ 1 = 2 − 2 = 0 ✓ \displaystyle 2\cdot 1+0\cdot(-2)+(-2)\cdot 1=2-2=0\; \checkmark
2 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 2 ) + ( − 2 ) ⋅ 1 = 2 − 2 = 0 ✓ Ergebnis: Das Skalarprodukt ist gleich 0 0 0 , d.h. der Punkt P P P liegt in der Ebene E E E .
Beispiel Punkt P P P liegt nicht in der Ebene E E E (Normalenform) Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung E E E und der Punkt P P P :
E : [ O X → − ( − 4 2 3 ) ] ∘ ( 1 − 2 3 ) = 0 E:\;\left[\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=0 E : OX − − 4 2 3 ∘ 1 − 2 3 = 0 und P ( 3 ∣ − 2 ∣ 4 ) P(3|-2|4) P ( 3∣ − 2∣4 )
Führe eine Punktprobe durch. Setze für O X → \overrightarrow{OX} OX den Vektor O P → \overrightarrow{OP} OP ein:
[ ( 3 − 2 4 ) − ( − 4 2 3 ) ] ∘ ( 1 − 2 3 ) = 0 \displaystyle \left[\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}\right]\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=0 3 − 2 4 − − 4 2 3 ∘ 1 − 2 3 = 0 Berechne die Vektordifferenz:
( 7 − 4 1 ) ∘ ( 1 − 2 3 ) = 0 \displaystyle \begin{pmatrix}7\\-4\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=0
7 − 4 1 ∘ 1 − 2 3 = 0 Berechne das Skalarprodukt:
7 ⋅ 1 + ( − 4 ) ⋅ ( − 2 ) + 1 ⋅ 3 = 7 + 8 + 3 = 18 ≠ 0 \displaystyle 7\cdot1+(-4)\cdot(-2)+1\cdot3=7+8+3=18\ne0 7 ⋅ 1 + ( − 4 ) ⋅ ( − 2 ) + 1 ⋅ 3 = 7 + 8 + 3 = 18 = 0 Ergebnis: Das Skalarprodukt ist ungleich 0 0 0 , d.h. der Punkt P P P liegt nicht in der Ebene E E E .
3. Koordinatenform Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:
E : a x 1 + b x 2 + c x 3 − d = 0 E:\;ax_1+bx_2+cx_3-d=0 E : a x 1 + b x 2 + c x 3 − d = 0
Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes P P P in die Koordinatengleichung ein:
Ergibt sich eine wahre Aussage, dann liegt der Punkt P P P in der Ebene E E E .
Ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt P P P nicht in der Ebene E E E .
Beispiel Punkt P P P liegt in der Ebene E E E (Koordinatenform) Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung E E E und der Punkt P P P :
E : 3 x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 12 E:\; 3x_1-2x_2+4x_3=12 E : 3 x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 12 und P ( 4 ∣ 2 ∣ 1 ) P(4|2|1) P ( 4∣2∣1 )
Führe eine Punktprobe durch:
Setze die Koordinaten des Punktes P P P in die Koordinatengleichung ein.
3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 = ? 12 3\cdot 4-2\cdot 2+4\cdot 1\stackrel{?}{=}12 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 = ? 12
12 − 4 + 4 = 12 ✓ 12-4+4=12 \;\checkmark 12 − 4 + 4 = 12 ✓
Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. der Punkt P P P liegt in der Ebene E E E .
Beispiel Punkt P P P liegt nicht in der Ebene E E E (Koordinatenform) Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung E E E und der Punkt P P P :
E : 3 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 8 E:\; 3x_1+4x_2-2x_3=8 E : 3 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 8 und P ( 2 ∣ − 2 ∣ − 1 ) P(2|-2|-1) P ( 2∣ − 2∣ − 1 )
Führe eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes P P P in die Koordinatengleichung ein.
3 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( − 2 ) − 2 ⋅ ( − 1 ) = ? 8 3\cdot 2+4\cdot (-2)-2\cdot (-1)\stackrel{?}{=}8 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( − 2 ) − 2 ⋅ ( − 1 ) = ? 8
6 − 8 + 2 = 0 ⇒ 0 ≠ 8 6-8+2=0 \;\Rightarrow\;0\neq8 6 − 8 + 2 = 0 ⇒ 0 = 8
Du hast eine falsche Aussage erhalten, d.h. der Punkt P P P liegt nicht in der Ebene E E E .
Übungsaufgaben: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz) Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:Aufgaben zur Lage von Punkten
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