🎓 Ui, schon PrĂŒfungszeit? Hier geht's zur Mathe-PrĂŒfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)

In der analytischen Geometrie wird eine Ebene im Raum durch eine Vektorgleichung dargestellt.

FĂŒr diese Vektorgleichung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform).

Wann liegt ein Punkt P in einer Ebene E?

Je nach Ebenenform ergeben sich unterschiedliche Lösungswege.

Punkt in einer Ebene

Ebenenformen

1. Parameterform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

E:X→=OA→+r⋅u→+s⋅v→

Dabei ist A der Aufpunkt und u→ und v→ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

FĂŒhre eine Punktprobe durch:

Setze fĂŒr X→ den Vektor OP→ ein:

OP→=OA→+r⋅u→+s⋅v→

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann liegt der Punkt P in der Ebene. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene.

Beispiel Punkt P liegt in der Ebene E (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung E und der Punkt P:

E:X→=(122)+r⋅(2−12)+s⋅(−3−1−1)und P(9|3|6)

FĂŒhre eine Punktprobe durch:

Setze fĂŒr X→ den Vektor OP→ ein:

(936)=(122)+r⋅(2−12)+s⋅(−3−1−1)⇒(814)=r⋅(2−12)+s⋅(−3−1−1)

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):8=2⋅r−3⋅s(II):1=−1⋅r−1⋅s(III):4=2⋅r−1⋅s

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)−(III):4=−2s⇒s=−2

Aus Gleichung (III)folgt: 4=2⋅r−(−2)⇒r=1

Probe in Gleichung (II):1=−1−(−2)=1✓

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=1 und s=−2 erhalten.

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. der Punkt P liegt in der Ebene E.

Beispiel Punkt P liegt nicht in der Ebene E (Parameterform)

Gegeben sind die Parameterform der Ebenengleichung E und der Punkt P:

E:X→=(122)+r⋅(2−12)+s⋅(312)

und P(8|2|8). FĂŒhre eine Punktprobe durch. Setze fĂŒr X→ den Vektor OP→ ein:

(828)=(122)+r⋅(2−12)+s⋅(312)⇒(706)=r⋅(2−12)+s⋅(312)

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):7=2⋅r+3⋅s(II):0=−1⋅r+1⋅s(III):6=2⋅r+2⋅s

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)−(III):1=s

Aus Gleichung (II)folgt: r=s⇒r=1

Probe in Gleichung (III):6=2⋅1+2⋅1=4⇒6≠4

Damit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Ergebnis: Der Punkt P liegt nicht in der Ebene E.

2. Normalenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

E:(OX→−OA→)∘n→=0

FĂŒhre eine Punktprobe durch:

Setze fĂŒr OX→ den Vektor OP→ ein:

(OP→−OA→)∘n→=0

Berechne die Vektordifferenz und dann das Skalarprodukt.

Ist das Skalarprodukt gleich 0, dann liegt der Punkt P in der Ebene E. Ist das Skalarprodukt ungleich 0, dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene E.

Beispiel Punkt P liegt in der Ebene E (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung E und der Punkt P:

E:[OX→−(123)]∘(1−21)=0

und P(3|2|1). FĂŒhre eine Punktprobe durch. Setze fĂŒr OX→ den Vektor OP→ ein:

[(321)−(123)]∘(1−21)=0

Berechne die Vektordifferenz:

(20−2)∘(1−21)=0

Berechne das Skalarprodukt:

2⋅1+0⋅(−2)+(−2)⋅1=2−2=0✓

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist gleich 0, d.h. der Punkt P liegt in der Ebene E.

Beispiel Punkt P liegt nicht in der Ebene E (Normalenform)

Gegeben sind die Normalenform der Ebenengleichung E und der Punkt P:

E:[OX→−(−423)]∘(1−23)=0 und P(3|−2|4)

FĂŒhre eine Punktprobe durch. Setze fĂŒr OX→ den Vektor OP→ ein:

[(3−24)−(−423)]∘(1−23)=0

Berechne die Vektordifferenz:

(7−41)∘(1−23)=0

Berechne das Skalarprodukt:

7⋅1+(−4)⋅(−2)+1⋅3=7+8+3=18≠0

Ergebnis: Das Skalarprodukt ist ungleich 0, d.h. der Punkt P liegt nicht in der Ebene E.

3. Koordinatenform

Die Ebenengleichung ist in der folgenden Form gegeben:

E:ax1+bx2+cx3−d=0

FĂŒhre eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes P in die Koordinatengleichung ein:

Ergibt sich eine wahre Aussage, dann liegt der Punkt P in der Ebene E.

Ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene E.

Beispiel Punkt P liegt in der Ebene E (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung E und der Punkt P:

E:3x1−2x2+4x3=12 und P(4|2|1)

FĂŒhre eine Punktprobe durch:

Setze die Koordinaten des Punktes P in die Koordinatengleichung ein.

3⋅4−2⋅2+4⋅1=?12

12−4+4=12✓

Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. der Punkt P liegt in der Ebene E.

Beispiel Punkt P liegt nicht in der Ebene E (Koordinatenform)

Gegeben sind die Koordinatenform der Ebenengleichung E und der Punkt P:

E:3x1+4x2−2x3=8 und P(2|−2|−1)

FĂŒhre eine Punktprobe durch. Setze die Koordinaten des Punktes P in die Koordinatengleichung ein.

3⋅2+4⋅(−2)−2⋅(−1)=?8

6−8+2=0⇒0≠8

Du hast eine falsche Aussage erhalten, d.h. der Punkt P liegt nicht in der Ebene E.

Übungsaufgaben

Laden

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Lage von Punkten

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?