B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$ -Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f$ . Die $y$ -Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (orange gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittle den Inhalt dieser Fläche
Ermittele zunächst die Gleichung der Geraden $g$ :
Die Gerade $g$ verläuft durch den Hochpunkt $H P (2 ∣ f (2))$ .
Berechne $f(2)=10 \cdot(2-1) \cdot \mathrm{e}^{-2}=10\cdot \mathrm{e}^{-2}\;\Rightarrow\;HP\left(2|10\cdot \mathrm{e}^{-2}\right)$ .
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m=0\;\Rightarrow\;g:y=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ .
Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\displaystyle\int_0^2 (g-f(x))\;\mathrm{d}x$
Die Berechnung mit CAS liefert das folgende Ergebnis:
Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $5{,}4134\;\mathrm{FE}$ .
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Ermittele die Gleichung der Geraden $g$ , die durch den Hochpunkt $H P (2 ∣ f (2))$ verläuft.
Für den Flächeninhalt erhält man dann: $\displaystyle\int_0^2 (g-f(x))\;\mathrm{d}x$
$Q_{u}(u \mid f(u)), 0<u<2$ , ist ein Punkt auf dem Graphen von $f$ . Die Parallelen durch $Q_{u}$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_{x}$ und $p_{y}$ bezeichnet. Die $y$ -Achse, $g, p_{x}$ und $p_{y}$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat
Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 ∣ 0)$ .
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A=a\cdot b$ .
Dabei ist $a = 1$ und $b=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ (Abstand der Geraden $g$ von der x-Achse).
$\Rightarrow\;A=1\cdot10\cdot \mathrm{e}^{-2}=10\cdot \mathrm{e}^{-2}\approx1{,}3534$
Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt rund $1{,}3534\;\mathrm{FE}$ .
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Nach Aufgabe 1) hat der Graph von $f$ nur eine Nullstelle bei $x = 1$ . Der Punkt $Q_{1}$ hat die Koordinaten $Q_{1} (1 ∣ 0)$ .
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit $A=a\cdot b$ .
Setze $a$ und $b$ ein.
Untersuchen Sie, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u}(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u}(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird
Es sind $Q_{u}(u \mid f(u))$ und $g:y=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ .
Funktionsgleichung für $A (u)$ ermitteln
Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g-f(u)=10\cdot \mathrm{e}^{-2}-10 \cdot(u-1) \cdot \mathrm{e}^{-u}$
$\Rightarrow\;A(u)=u\cdot \left(10\cdot \mathrm{e}^{-2}-10 \cdot(u-1) \cdot \mathrm{e}^{-u}\right)$
Bestimmung des maximalen Flächeninhalts
Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen und bestimme das Maximum.
Für $u\approx 0{,}4850$ wird $A (u)$ maximal.
Dabei ist $A_{\text{max}}\approx2{,}1942\;\mathrm{FE}$ .
Berechnung der prozentualen Vergrößerung
Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A\approx1{,}3534$ :
$\dfrac{A_{\text{max}}}{A}=\dfrac{2{,}1942}{1{,}3534}\approx1{,}621$
Der Wert aus b) lässt sich maximal um etwa $62 %$ vergrößern.
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Es sind $Q_{u}(u \mid f(u))$ und $g:y=10\cdot \mathrm{e}^{-2}$ .
Die eine Rechteckseite hat die Länge $u$ und die andere Rechteckseite hat die Länge $g-f(u)\;\Rightarrow\;$ berechne $A (u)$ .
Lasse Dir den Graphen von $A (u)$ anzeigen, bestimme das Maximum $A_{\text{max}}$ .
Für die prozentuale Vergrößerung erhält man mit $A$ aus Aufgabe b): $\dfrac{A_{\text{max}}}{A}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Ermittle den Inhalt dieser Fläche

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Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass QuQ_{u}Qu​ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von fff mit der xxx-Achse hat

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Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für Qu(u∣f(u))Q_{u}(u \mid f(u))Qu​(u∣f(u)) eine andere Position mit 0<u<20<u<20<u<2 gewählt wird

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Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_{u}$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat

Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus b) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_{u}(u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0 < u < 2$ gewählt wird