Interpretiere die Aussage $F(5)-F(1)=0$ in Bezug auf den Graphen von $f$

Die Fläche, die im Intervall $[1;3]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, ist genauso groß wie die Fläche, die im Intervall $[3;5]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird

Berechne $${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$$

Es ist $f(x)=-x^3+9x^2-23x+15$.

Dann ist $F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+3x^3-{\displaystyle \frac{23}{2}}x+15x$ eine Stammfunktion von $f$.

$${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=F(1)-F(0)=(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+3-{\displaystyle \frac{23}{2}}+15)-(0)=18-{\displaystyle \frac{47}{4}}={\displaystyle \frac{25}{4}}}$$

Ergebnis: $${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{25}{4}}}$$.