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A3

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist eine in definierte Funktion f(x)=x4kx2, wobei k eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Zeigen Sie, dass f(x)=2x(2x2k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von f ist. (1 P)

    2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von f haben jeweils die y-Koordinate 1.

      Ermitteln Sie den Wert von k. (4 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x3+9x223x+15,x.

    Die Funktion F ist eine Stammfunktion zur Funktion f.

    Der Graph von f ist in Abbildung 2 dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Interpretieren Sie die Aussage F(5)F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von f.

      (2 P)

    2. Berechnen Sie 01f(x)dx. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(x2+2x)ex+4 mit x.

    Der Graph von f ist in Abbildung 3 dargestellt.

    Abbildung 3

    Abbildung 3

    1. Die Funktion f besitzt genau zwei Extremstellen.

      Ermitteln Sie die beiden Extremstellen von f.

      Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. (3 P)

    2. Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von f.

      Hinweis: Die Größe der y-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. (2 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Für jedes a ist durch die Gleichung fa(x)=12(x+2)(3x+a)2ex,x, eine Funktion fa gegeben.

    In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion fa für a=0 abgebildet.

     Abbildung 4

    Abbildung 4

    1. Es gibt genau einen Wert von a, sodass die Funktion fa nur eine Nullstelle besitzt.

      Ermitteln Sie diesen Wert von a. (2 P)

    2. Ermitteln Sie, für welche Werte von a der Punkt P(3|90e3) auf dem Graphen der Funktion fa liegt. (3 P)

  5. 5

    Aufgabe 5

    Betrachtet werden die Ebene E:x1x2+x33=0 und für a die Gerade ga:x=(120)+s(21+a2) mit s.

    1. Bestimmen Sie, denjenigen Wert von a, für den die Gerade ga senkrecht zu E steht. (2 P)

    2. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von a gibt, für den die Gerade ga in E liegt. (3 P)

  6. 6

    Aufgabe 6

    Bei einem Gewinnspiel beträgt der Einsatz für die Teilnahme 3 Euro. Die Auszahlung in Euro wird durch die Zufallsgröße A beschrieben.

    Abbildung 5 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von A.

    Abbildung 5

    Abbildung 5

    1. Zeigen Sie, dass p den Wert 16 hat. (1 P)

    2. Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen.

      Berechnen Sie den Wert von b. (2 P)

    3. Beschreiben Sie, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte. (2 P)


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