Setz die gegebenen Vektoren ein.

$\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{cccccc}\text{I}&1\cdot a&+&0\cdot b &=& 0\\\text{II}&0\cdot a&+&1\cdot b &=& 0\end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem.

Setz die gegebenen Vektoren ein.

$\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}4{,}5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{cccccc}\text{I}&(-3)\cdot a&+&4{,}5\cdot b &=& 0\\\text{II}&2\cdot a&+&(-3)\cdot b &=& 0\end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem.

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}3\\8\\9\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$, $b$ und $c$.

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{cccccccc}\text{(I)}&3\cdot a&+&4\cdot b &+& 2\cdot c&=& 0\\\text{(II)}&8\cdot a&+&7\cdot b &+& 2\cdot c&=& 0 \\\text{(III)}&9\cdot a&-& 2\cdot b&+&2\cdot c&=&0\end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.

Rechne:

$\text{(II)}-\text{(I)}\;\Rightarrow\;\mathrm{(I')}:\;\;\;5\cdot a + 3\cdot b = 0$

$\text{(III)}-\text{(II)}\Rightarrow\;\mathrm{(II')}:\;\; \;\; \;\;a -9\cdot b = 0$

Rechne: $3\cdot\mathrm{( I')}+\mathrm{(II')}\;\Rightarrow\;16\cdot a=0\;\Rightarrow\;a=0$

Setze $a=0$ in $\mathrm{( I')}$ ein$\;\Rightarrow\;5\cdot 0+3\cdot b=0\;\Rightarrow\;b=0$

Setze $a=0$ und $b=0$ in $\mathrm{(I)}$ ein$\;\Rightarrow\;3\cdot 0+4\cdot 0+2\cdot c=0\;\Rightarrow\;c=0$

Es ist also $a=0,\,b=0,\,c=0$. Das bedeutet, das Gleichungssystem wird nur gelöst für $a=b=c=0$ und somit sind $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ und $\overrightarrow{v_3}$ linear unabhängig.