Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b\in ℝ$, sodass gilt

$\overrightarrow{u}=a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}$.

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$${\displaystyle \left(\begin{array}{c}7\\ 12\end{array}\right)=a\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -5\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)}$$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\begin{array}{cccccc}\text{I}& 7& =& -5\cdot a& +& (-1)\cdot b\\ \text{II}& 12& =& -5\cdot a& +& \frac{2}{3}\cdot b\end{array}$

$\Rightarrow a=-2,b=3$.

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b\in ℝ$, sodass gilt

$\overrightarrow{u}=a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}$

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=a\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\begin{array}{cccccc}\text{I}& 1& =& 1\cdot a& +& 2\cdot b\\ \text{II}& 1& =& 2\cdot a& +& 1\cdot b\end{array}$

$${\displaystyle \Rightarrow a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{3}}$$.

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b,c\in ℝ$, sodass gilt

$\overrightarrow{u}=a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}+c\cdot \overrightarrow{v_3}$

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\\ 6\end{array}\right)=a\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a,b$ und $c$.

$\begin{array}{cccccccc}\text{I}& -3& =& 1\cdot a& +& 1\cdot b& +& 1\cdot c\\ \text{II}& 5& =& 1\cdot a& +& 1\cdot b& & \\ \text{III}& 6& =& & & 1\cdot b& +& 1\cdot c\end{array}$

$\Rightarrow a=-9,b=14,c=-8$.

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a,b\in ℝ$ finden kannst, sodass $a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.

$\Rightarrow a=0,b=0$. Das bedeutet, das Gleichungssystem ist nur gelöst für $a=b=0$ und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ linear unabhängig.

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a,b\in ℝ$ finden kannst, sodass $a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.

Setze nun $a=\mathrm{1,5}b$ in $\text{II}$ ein.

Die Gleichung ist immer erfüllt. Also müssen $a$ und $b$ nur die Gleichung $a=\mathrm{1,5}b$ erfüllen. Für beispielsweise $b=1$ und $a=\mathrm{1,5}\cdot 1=\mathrm{1,5}$ ist die Gleichung also erfüllt und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ linear abhängig.

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ und $\overrightarrow{v_3}$ sind linear unabhängig, wenn du drei Zahlen $a,b,c\in ℝ$ finden kannst, sodass

$a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}+c\cdot \overrightarrow{v_3}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und $a$, $b$ und $c$ gleichzeitig $0$ sind.

Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\overrightarrow{c}$ eindeutig durch $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen:

$\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrl}I)& \lambda & =2\\ II)& 3\mu & =1\\ III)& -\lambda & =2\end{array}$

Die erste und die dritte Gleichung liefern unterschiedliche Lösungen für $\lambda$. Dadurch hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.

Die Vektoren sind also linear unabhängig und nicht komplanar.

Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\overrightarrow{c}$ eindeutig durch $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen:

$\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrl}I)& \lambda -\mu & =0\\ II)& 2\lambda -\mu & =4\\ III)& -3\lambda +2\mu & =-4\end{array}$

Forme die erste Gleichung um:

$I)\lambda =\mu$

Setze in II ein:

$\begin{array}{rrl}II)& 2\mu -\mu & =4\\ & \mu & =4\end{array}$

Und die erste Gleichung liefert

$I)\lambda =4$

Da es sich um ein überbestimmtes System handelt, musst du zur Probe noch in die III. Gleichung einsetzen:

$\begin{array}{rrl}III)& -3\cdot 4+2\cdot 4& =-4\\ & -4& =-4\end{array}$

Die Gleichung III liefert eine wahre Aussage. Somit hat das System eine eindeutige Lösung und die drei Vektoren sind linear abhängig und somit komplanar.

Da die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel sind, kann man nicht wie bei den letzten Aufgaben $\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ untersuchen.

Alternativ prüfst du $\lambda \cdot \overrightarrow{c}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$

Daraus entsteht erneut ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrl}I)& 2\lambda -3\mu & =1\\ II)& 4\lambda +6\mu & =-2\\ III)& -4\lambda -6\mu & =2\end{array}$

Forme z.B. die erste Gleichung um: $I)2\lambda =1+3\mu$

Setze in die II. Gleichung ein:

$\begin{array}{rrl}II)& 2\cdot 2\lambda -3\mu & =1\\ & 2(1+3\mu )-3\mu & =1\\ & 2+6\mu -3\mu & =1& |-2\\ & 3\mu & =-1& |:3\\ & \mu & =-\frac{1}{3}\end{array}$

Setze das Ergebnis in Gleichung I ein:

$\begin{array}{l}I)2\lambda =1+3\cdot (-\frac{1}{3})\\ I)\lambda =0\end{array}$

Setze in Gleichung III ein:

$\begin{array}{l}III)-4\cdot 0-6\cdot (-\frac{1}{3})=2\\ III)2=2\end{array}$

Das System hat also eine eindeutige Lösung und somit sind die drei Vektoren komplanar.