Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

Hier findest du Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit. Lerne, Vektoren auf ihre lineare Unabhängigkeit zu überprüfen und dessen Bedeutung!

1
Bestimme die Skalare, sodass der Vektor $\overrightarrow u$ eine Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{v_i}$ ist.
1. $\displaystyle\overrightarrow u=\begin{pmatrix}7\\12\end{pmatrix}, \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}-1\\\frac23\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
  Zu bestimmen sind die Skalare $a,b\in\mathbb{R}$ , sodass gilt
  $\overrightarrow{u}=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}$ .
  Setze die gegebenen Vektoren ein.
  $\displaystyle\begin{pmatrix}7\\12\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-1\\\frac23\end{pmatrix}$
  Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}\text{I}&7&=&-5\cdot a&+&(-1)\cdot b\\\text{II}&12& =&-5\cdot a&+&\frac23\cdot b\end{array}$
  $\Rightarrow a=-2, \;b=3$ .
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2. $\displaystyle\overrightarrow u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
  Zu bestimmen sind die Skalare $a,b∈\mathbb R$ , sodass gilt
  $\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}$
  Setze die gegebenen Vektoren ein.
  $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
  Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}\text I & 1&=&1\cdot a&+&2\cdot b\\\text{II}&1&=&2\cdot a&+&1\cdot b\end{array}$
  $\displaystyle\Rightarrow a=\frac13,\;b=\frac13$ .
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3. $\displaystyle\overrightarrow u=\begin{pmatrix}-3\\5\\6\end{pmatrix}, \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
  Zu bestimmen sind die Skalare $a,b,c∈\mathbb R$ , sodass gilt
  $\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}$
  Setze die gegebenen Vektoren ein.
  $\begin{pmatrix}-3\\5\\6\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
  Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a, b$ und $c$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}\text I&-3&=&1\cdot a&+&1\cdot b&+&1\cdot c\\\text{II}&5&=&1\cdot a&+&1\cdot b&&\\\text{III}&6&=&&&1\cdot b&+&1\cdot c\end{array}$
  $\Rightarrow a=-9,\;b=14,\;c=-8$ .
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Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
- linear abhängig
- linear unabhängig
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a,b\in\mathbb{R}$ finden kannst, sodass $a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.
Setz die gegebenen Vektoren ein.
$\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{cccccc}\text{I}&1\cdot a&+&0\cdot b &=& 0\\\text{II}&0\cdot a&+&1\cdot b &=& 0\end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem.
$\displaystyle \text{I}\ \ \ 1\cdot a+0\cdot b$ $=$ $\displaystyle 0$
$\displaystyle a+0$ $=$ $\displaystyle 0$
$\displaystyle a$ $=$ $\displaystyle 0$
$\displaystyle \text{II}\ \ 0\cdot a+1\cdot b$ $=$ $\displaystyle 0$
$\displaystyle 0+b$ $=$ $\displaystyle 0$
$\displaystyle b$ $=$ $\displaystyle 0$
$\Rightarrow a=0, \;b=0$ . Das bedeutet, das Gleichungssystem ist nur gelöst für $a = b = 0$ und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ linear unabhängig.
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$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix},\;\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4{,}5\\-3\end{pmatrix}$

linear abhängig
linear unabhängig

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Unabhängigkeit

Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a,b\in\mathbb{R}$ finden kannst, sodass $a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.

Setz die gegebenen Vektoren ein.

$\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}4{,}5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{cccccc}\text{I}&(-3)\cdot a&+&4{,}5\cdot b &=& 0\\\text{II}&2\cdot a&+&(-3)\cdot b &=& 0\end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem.

$\displaystyle \text{I}\ \ \left(-3\right)\cdot a+4{,}5\cdot b$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -3a+4{,}5b$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3a$
$\displaystyle 4{,}5b$	$=$	$\displaystyle 3a$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 1{,}5b$

Setze nun $a = 1,5 b$ in $\text{II}$ ein.

$\displaystyle \text{II}\ \ 2\cdot a+\left(-3\right)\cdot b$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $a = 1,5 b$ ein.
$\displaystyle 2\cdot\left(1{,}5b\right)-3b$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 3b-3b$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Gleichung ist immer erfüllt. Also müssen $a$ und $b$ nur die Gleichung $a = 1,5 b$ erfüllen. Für beispielsweise $b = 1$ und $a=1{,}5\cdot1=1{,}5$ ist die Gleichung also erfüllt und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ linear abhängig.

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$\overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}3\\8\\9\end{pmatrix},\;\overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix},\;\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$
- linear abhängig
- linear unabhängig
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $\overrightarrow{v_1}$ , $\overrightarrow{v_2}$ und $\overrightarrow{v_3}$ sind linear unabhängig, wenn du drei Zahlen $a,b,c\in\mathbb{R}$ finden kannst, sodass
$a\cdot \overrightarrow{v_1}+b\cdot \overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ und $a$ , $b$ und $c$ gleichzeitig $0$ sind.
Setze die gegebenen Vektoren ein.
$\displaystyle a\cdot\begin{pmatrix}3\\8\\9\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ , $b$ und $c$ .
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{cccccccc}\text{(I)}&3\cdot a&+&4\cdot b &+& 2\cdot c&=& 0\\\text{(II)}&8\cdot a&+&7\cdot b &+& 2\cdot c&=& 0 \\\text{(III)}&9\cdot a&-& 2\cdot b&+&2\cdot c&=&0\end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.
Rechne:
$\text{(II)}-\text{(I)}\;\Rightarrow\;\mathrm{(I')}:\;\;\;5\cdot a + 3\cdot b = 0$
$\text{(III)}-\text{(II)}\Rightarrow\;\mathrm{(II')}:\;\; \;\; \;\;a -9\cdot b = 0$
Rechne: $3\cdot\mathrm{( I')}+\mathrm{(II')}\;\Rightarrow\;16\cdot a=0\;\Rightarrow\;a=0$
Setze $a = 0$ in $\mathrm{( I')}$ ein $\;\Rightarrow\;5\cdot 0+3\cdot b=0\;\Rightarrow\;b=0$
Setze $a = 0$ und $b = 0$ in $\mathrm{(I)}$ ein $\;\Rightarrow\;3\cdot 0+4\cdot 0+2\cdot c=0\;\Rightarrow\;c=0$
Es ist also $a=0,\,b=0,\,c=0$ . Das bedeutet, das Gleichungssystem wird nur gelöst für $a = b = c = 0$ und somit sind $\overrightarrow{v_1}$ , $\overrightarrow{v_2}$ und $\overrightarrow{v_3}$ linear unabhängig.
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3
Prüfe rechnerisch, ob die drei Vektoren komplanar sind.
1. $\vec a =\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare (Un)abhängigkeit
  Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\vec c$ eindeutig durch $\vec a$ und $\vec b$ darstellen:
  $\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$
  Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&\lambda &=2\\ II)&3\mu&=1\\ III)& -\lambda&=2 \end{array}$
  Die erste und die dritte Gleichung liefern unterschiedliche Lösungen für $\lambda$ . Dadurch hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.
  Die Vektoren sind also linear unabhängig und nicht komplanar.
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2. $\vec a =\begin{pmatrix} 1\\2\\-3\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix}0\\4\\-4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare (Un)abhängigkeit
  Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\vec c$ eindeutig durch $\vec a$ und $\vec b$ darstellen:
  $\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$
  Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&\lambda-\mu &=0\\ II)&2\lambda-\mu&=4\\ III)& -3\lambda+2\mu&=-4 \end{array}$
  Forme die erste Gleichung um:
  $I) \lambda=\mu$
  Setze in II ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll} II)&2\mu-\mu&=4\\ &\mu&=4 \end{array}$
  Und die erste Gleichung liefert
  $I) \lambda =4$
  Da es sich um ein überbestimmtes System handelt, musst du zur Probe noch in die III. Gleichung einsetzen:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}III)&-3\cdot4+2\cdot 4&=-4\\&-4&=-4\end{array}$
  Die Gleichung III liefert eine wahre Aussage. Somit hat das System eine eindeutige Lösung und die drei Vektoren sind linear abhängig und somit komplanar.
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3. $\vec a =\begin{pmatrix} 1\\-2\\2\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}-3\\6\\-6\end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare (Un)abhängigkeit
  Da die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ parallel sind, kann man nicht wie bei den letzten Aufgaben $\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$ untersuchen.
  Alternativ prüfst du $\lambda\cdot \vec{c}+\mu\cdot \vec b=\vec a$
  Daraus entsteht erneut ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&2\lambda-3\mu &=1\\ II)&4\lambda+6\mu&=-2\\ III)& -4\lambda-6\mu&=2 \end{array}$
  Forme z.B. die erste Gleichung um: $I) 2\lambda =1+3\mu$
  Setze in die II. Gleichung ein:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} II)&2\cdot2\lambda-3\mu&=1\\ &2(1+3\mu)-3\mu&=1\\ &2+6\mu-3\mu&=1&|-2\\ &3\mu&=-1&|:3\\ &\mu&=-\frac 1 3 \end{array}$
  Setze das Ergebnis in Gleichung I ein:
  $I)2\lambda=1+3\cdot\left(-\frac 1 3\right)\\ I)\lambda=0$
  Setze in Gleichung III ein:
  $III) -4\cdot 0-6\cdot \left(-\frac 1 3\right)=2\\ III)2=2$
  Das System hat also eine eindeutige Lösung und somit sind die drei Vektoren komplanar.
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4
Zeige, dass sich der Vektor $\begin{pmatrix} 9\\18\end{pmatrix}$ auf unendlich viele Arten als Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3\\6\end{pmatrix}$ darstellen lässt und deute das Ergebnis geometrisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Als Linearkombination darstellen bedeutet, dass du Zahlen $r_{1}, r_{2}$ finden musst, so dass:
$r_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}+r_2\cdot \begin{pmatrix} 3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\18\end{pmatrix}$
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rc} I)&r_1+3r_2=9\\ II)&2r_1+6r_2=18 \end{array}$
Wenn du die zweite Gleichung halbierst, erhältst du erneut die erste Gleichung:
$\displaystyle 2r_1+6r_2$ $=$ $\displaystyle 18$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle r_1+3r_2$ $=$ $\displaystyle 9$
Somit handelt es sich um ein unterbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen.
Forme die erste Gleichung um, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit von $r_{2}$ anzugeben:
$I) r_{1} = 9 - 3 r_{2}$
Für $r_{2} = 2$ ergibt sich zum Beispiel $r_1=9-3\cdot 2=3$ .
Für $r_{2} = 1$ ergibt sich folglich $r_1=9-3\cdot 1=6$
geometrische Interpretation
Bei genauerem Hinsehen solltest du erkennen, dass alle drei Vektoren kollinear sind, also paarweise parallel. Sie liegen also auf einer gemeinsamen Geraden.
Einen Vektor $\vec v$ als Linearkombination von $\vec a$ und $\vec b$ darzustellen, bedeutet, Zahlen zu finden, mit denen $\vec a$ und $\vec b$ multipliziert werden können, so dass der Vektor $\vec v$ entsteht.
Zeige, dass es unendlich viele solche Zahlen gibt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \text{I}\ \ \ 1\cdot a+0\cdot b$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle a+0$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \text{II}\ \ 0\cdot a+1\cdot b$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0+b$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle 2r_1+6r_2$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r_1+3r_2$	$=$	$\displaystyle 9$

Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

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geometrische Interpretation