Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

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Zeige, dass sich der Vektor $\begin{pmatrix} 9\\18\end{pmatrix}$ auf unendlich viele Arten als Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3\\6\end{pmatrix}$ darstellen lässt und deute das Ergebnis geometrisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination

Als Linearkombination darstellen bedeutet, dass du Zahlen $r_1, r_2$ finden musst, so dass:

$r_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}+r_2\cdot \begin{pmatrix} 3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\18\end{pmatrix}$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rc} I)&r_1+3r_2=9\\ II)&2r_1+6r_2=18 \end{array}$

Wenn du die zweite Gleichung halbierst, erhältst du erneut die erste Gleichung:

$\displaystyle 2r_1+6r_2$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r_1+3r_2$	$=$	$\displaystyle 9$

Somit handelt es sich um ein unterbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen.

Forme die erste Gleichung um, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit von $r_2$ anzugeben:

$I) r_1=9-3r_2$

Für $r_2= 2$ ergibt sich zum Beispiel $r_1=9-3\cdot 2=3$ .

Für $r_2=1$ ergibt sich folglich $r_1=9-3\cdot 1=6$

geometrische Interpretation

Bei genauerem Hinsehen solltest du erkennen, dass alle drei Vektoren kollinear sind, also paarweise parallel. Sie liegen also auf einer gemeinsamen Geraden.

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Einen Vektor $\vec v$ als Linearkombination von $\vec a$ und $\vec b$ darzustellen, bedeutet, Zahlen zu finden, mit denen $\vec a$ und $\vec b$ multipliziert werden können, so dass der Vektor $\vec v$ entsteht.

Zeige, dass es unendlich viele solche Zahlen gibt.