Zeige, dass sich der Vektor (918) auf unendlich viele Arten als Linearkombination der Vektoren (12) und (36) darstellen lässt und deute das Ergebnis geometrisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Als Linearkombination darstellen bedeutet, dass du Zahlen r1,r2 finden musst, so dass:
r1⋅(12)+r2⋅(36)=(918)
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:
I)II)r1+3r2=92r1+6r2=18
Wenn du die zweite Gleichung halbierst, erhältst du erneut die erste Gleichung:
2r1+6r2 | = | 18 | :2 |
r1+3r2 | = | 9 |
Somit handelt es sich um ein unterbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen.
Forme die erste Gleichung um, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit von r2 anzugeben:
I)r1=9−3r2
Für r2=2 ergibt sich zum Beispiel r1=9−3⋅2=3.
Für r2=1 ergibt sich folglich r1=9−3⋅1=6
geometrische Interpretation
Bei genauerem Hinsehen solltest du erkennen, dass alle drei Vektoren kollinear sind, also paarweise parallel. Sie liegen also auf einer gemeinsamen Geraden.
![Bild](https://assets.serlo.org/096a0c80-4295-11ef-b8c6-f78d958ed7c5/aufgabe.png)
Einen Vektor v als Linearkombination von a und b darzustellen, bedeutet, Zahlen zu finden, mit denen a und b multipliziert werden können, so dass der Vektor v entsteht.
Zeige, dass es unendlich viele solche Zahlen gibt.