Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

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Zeige, dass sich der Vektor $(\begin{array}{c} 9 \\ 18 \end{array})$ auf unendlich viele Arten als Linearkombination der Vektoren $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})$ und $(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array})$ darstellen lässt und deute das Ergebnis geometrisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination

Als Linearkombination darstellen bedeutet, dass du Zahlen $r_{1}, r_{2}$ finden musst, so dass:

$r_{1} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) + r_{2} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 18 \end{array})$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rc} I) & r_{1} + 3 r_{2} = 9 \\ I I) & 2 r_{1} + 6 r_{2} = 18 \end{array}$

Wenn du die zweite Gleichung halbierst, erhältst du erneut die erste Gleichung:

$2 r_{1} + 6 r_{2}$	$=$	$18$	$: 2$
$r_{1} + 3 r_{2}$	$=$	$9$

Somit handelt es sich um ein unterbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen.

Forme die erste Gleichung um, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit von $r_{2}$ anzugeben:

$I) r_{1} = 9 - 3 r_{2}$

Für $r_{2} = 2$ ergibt sich zum Beispiel $r_{1} = 9 - 3 \cdot 2 = 3$ .

Für $r_{2} = 1$ ergibt sich folglich $r_{1} = 9 - 3 \cdot 1 = 6$

geometrische Interpretation

Bei genauerem Hinsehen solltest du erkennen, dass alle drei Vektoren kollinear sind, also paarweise parallel. Sie liegen also auf einer gemeinsamen Geraden.

Einen Vektor $\vec{v}$ als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darzustellen, bedeutet, Zahlen zu finden, mit denen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ multipliziert werden können, so dass der Vektor $\vec{v}$ entsteht.

Zeige, dass es unendlich viele solche Zahlen gibt.

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