Zu bestimmen sind die Skalare $a,b\in\mathbb{R}$, sodass gilt

$\overrightarrow{u}=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}$.

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\displaystyle\begin{pmatrix}7\\12\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-1\\\frac23\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}\text{I}&7&=&-5\cdot a&+&(-1)\cdot b\\\text{II}&12& =&-5\cdot a&+&\frac23\cdot b\end{array}$

$\Rightarrow a=-2, \;b=3$.

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b∈\mathbb R$, sodass gilt

$\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}$

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccc}\text I & 1&=&1\cdot a&+&2\cdot b\\\text{II}&1&=&2\cdot a&+&1\cdot b\end{array}$

$\displaystyle\Rightarrow a=\frac13,\;b=\frac13$.

Zu bestimmen sind die Skalare $a,b,c∈\mathbb R$, sodass gilt

$\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}$

Setze die gegebenen Vektoren ein.

$\begin{pmatrix}-3\\5\\6\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a,b$ und $c$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc}\text I&-3&=&1\cdot a&+&1\cdot b&+&1\cdot c\\\text{II}&5&=&1\cdot a&+&1\cdot b&&\\\text{III}&6&=&&&1\cdot b&+&1\cdot c\end{array}$

$\Rightarrow a=-9,\;b=14,\;c=-8$.