Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\vec c$ eindeutig durch $\vec a$ und $\vec b$ darstellen:

$\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&\lambda &=2\\ II)&3\mu&=1\\ III)& -\lambda&=2 \end{array}$

Die erste und die dritte Gleichung liefern unterschiedliche Lösungen für $\lambda$. Dadurch hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.

Die Vektoren sind also linear unabhängig und nicht komplanar.

Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\vec c$ eindeutig durch $\vec a$ und $\vec b$ darstellen:

$\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&\lambda-\mu &=0\\ II)&2\lambda-\mu&=4\\ III)& -3\lambda+2\mu&=-4 \end{array}$

Forme die erste Gleichung um:

$I) \lambda=\mu$

Setze in II ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll} II)&2\mu-\mu&=4\\ &\mu&=4 \end{array}$

Und die erste Gleichung liefert

$I) \lambda =4$

Da es sich um ein überbestimmtes System handelt, musst du zur Probe noch in die III. Gleichung einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}III)&-3\cdot4+2\cdot 4&=-4\\&-4&=-4\end{array}$

Die Gleichung III liefert eine wahre Aussage. Somit hat das System eine eindeutige Lösung und die drei Vektoren sind linear abhängig und somit komplanar.

Da die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ parallel sind, kann man nicht wie bei den letzten Aufgaben $\lambda\cdot \vec a+\mu\cdot \vec b=\vec c$ untersuchen.

Alternativ prüfst du $\lambda\cdot \vec{c}+\mu\cdot \vec b=\vec a$

Daraus entsteht erneut ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} I)&2\lambda-3\mu &=1\\ II)&4\lambda+6\mu&=-2\\ III)& -4\lambda-6\mu&=2 \end{array}$

Forme z.B. die erste Gleichung um: $I) 2\lambda =1+3\mu$

Setze in die II. Gleichung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl} II)&2\cdot2\lambda-3\mu&=1\\ &2(1+3\mu)-3\mu&=1\\ &2+6\mu-3\mu&=1&|-2\\ &3\mu&=-1&|:3\\ &\mu&=-\frac 1 3 \end{array}$

Setze das Ergebnis in Gleichung I ein:

$I)2\lambda=1+3\cdot\left(-\frac 1 3\right)\\ I)\lambda=0$

Setze in Gleichung III ein:

$III) -4\cdot 0-6\cdot \left(-\frac 1 3\right)=2\\ III)2=2$

Das System hat also eine eindeutige Lösung und somit sind die drei Vektoren komplanar.