Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\overrightarrow{c}$ eindeutig durch $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen:

$\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrl}I)& \lambda & =2\\ II)& 3\mu & =1\\ III)& -\lambda & =2\end{array}$

Die erste und die dritte Gleichung liefern unterschiedliche Lösungen für $\lambda$. Dadurch hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.

Die Vektoren sind also linear unabhängig und nicht komplanar.

Sind die Vektoren linear unabhängig, so kann man zum Beispiel den Vektor $\overrightarrow{c}$ eindeutig durch $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ darstellen:

$\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrl}I)& \lambda -\mu & =0\\ II)& 2\lambda -\mu & =4\\ III)& -3\lambda +2\mu & =-4\end{array}$

Forme die erste Gleichung um:

$I)\lambda =\mu$

Setze in II ein:

$\begin{array}{rrl}II)& 2\mu -\mu & =4\\ & \mu & =4\end{array}$

Und die erste Gleichung liefert

$I)\lambda =4$

Da es sich um ein überbestimmtes System handelt, musst du zur Probe noch in die III. Gleichung einsetzen:

$\begin{array}{rrl}III)& -3\cdot 4+2\cdot 4& =-4\\ & -4& =-4\end{array}$

Die Gleichung III liefert eine wahre Aussage. Somit hat das System eine eindeutige Lösung und die drei Vektoren sind linear abhängig und somit komplanar.

Da die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel sind, kann man nicht wie bei den letzten Aufgaben $\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ untersuchen.

Alternativ prüfst du $\lambda \cdot \overrightarrow{c}+\mu \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}$

Daraus entsteht erneut ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrl}I)& 2\lambda -3\mu & =1\\ II)& 4\lambda +6\mu & =-2\\ III)& -4\lambda -6\mu & =2\end{array}$

Forme z.B. die erste Gleichung um: $I)2\lambda =1+3\mu$

Setze in die II. Gleichung ein:

$\begin{array}{rrl}II)& 2\cdot 2\lambda -3\mu & =1\\ & 2(1+3\mu )-3\mu & =1\\ & 2+6\mu -3\mu & =1& |-2\\ & 3\mu & =-1& |:3\\ & \mu & =-\frac{1}{3}\end{array}$

Setze das Ergebnis in Gleichung I ein:

$\begin{array}{l}I)2\lambda =1+3\cdot (-\frac{1}{3})\\ I)\lambda =0\end{array}$

Setze in Gleichung III ein:

$\begin{array}{l}III)-4\cdot 0-6\cdot (-\frac{1}{3})=2\\ III)2=2\end{array}$

Das System hat also eine eindeutige Lösung und somit sind die drei Vektoren komplanar.