Bestimmen der Funktionsgleichung von $\text{𝐩}$.

a.) Aufstellen der Scheitelform.

Die Scheitelform einer quadratischen Gleichung lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt,

ist der Öffnungsfaktor $\text{a}=1$.

Der $\text{x}$-Koordinate des Scheitelpunktes ${\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}=4$.

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1(\mathrm{x}-4{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}$

Einsetzen des Punktes ${\mathrm{P}}_1(1/0)$, (siehe Schaubild).

$0=(1-4{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}$

$0=(-3{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}$

$0=9+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}=-9$

$\mathrm{p}:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-4{)}^2-9$

Die Funktionsgleichung von $\text{p}$ lautet dann:

$\mathrm{p}:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+7$

Ergänze die fehlenden $\text{𝐲}$-Werte in der Wertetabelle.

Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte $\text{𝐀}$ und $\text{𝐁}$.

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $\text{A}$ und $\text{B}$, indem du die Funktionsgleichung der Parabel $\text{p}$ mit der Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$ gleichsetzt und $\text{x}$ berechnest.

Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel einer quadratischen Gleichung $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}=0$ lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 5}}{2}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-20}}{2}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{16}}{2}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{6+4}{2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=5$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{6-4}{2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_2=1$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_1$ und ${\mathrm{x}}_2$ in z. B. die Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_1$ und ${\mathrm{y}}_2$.

${\mathrm{y}}_1=-2\cdot 5+2$

${\mathrm{y}}_1=-8\Rightarrow \mathrm{B}(5|-8)$

${\mathrm{y}}_2=-2\cdot 1+2$

${\mathrm{y}}_2=0\Rightarrow \mathrm{A}\left(1|0\right)$