Aufgabenteil a.)

Bestimme der Funktionsgleichungen der beiden Parabeln.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{a}\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte $\mathrm{T}(-2|5)$ und $\mathrm{R}(4|5)$ in die allgemeine Form der quadratischen Funktion. Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, gilt für den Öffnungsfaktor: $\mathrm{a}=1$.

$\mathrm{I}(\mathrm{T}):(-2{)}^2-2\mathrm{b}+\mathrm{c}=5\Rightarrow \mathrm{c}=2\mathrm{b}+1$

$\mathrm{I}\mathrm{I}(\mathrm{R}):4^2+4\mathrm{b}+\mathrm{c}=5\Rightarrow \mathrm{c}=-4\mathrm{b}-11$

Gleichsetzen.

$2\mathrm{b}+1=-4\mathrm{b}-11$

$6\mathrm{b}=-12$

$\mathrm{b}=-2$

eingesetzt in $\mathrm{I}$

$\mathrm{c}=2\mathrm{b}+1$

$\mathrm{c}=2\cdot (-2)+1$

$\mathrm{c}=-3$

Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel ${\mathrm{p}}_1$.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3$

Zur Ermittlung der Funktionsgleichung der Parabel ${\mathrm{p}}_2$ verwenden wir die Scheitelform.

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}{)}^2+y_s$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunktes ${\mathrm{S}}_2(0|6)$.

$\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-0{)}^2+6$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $\mathrm{T}(-2|5)$ und berechnen des Öffnungsfaktors $\text{a}$.

$5=\mathrm{a}(-2{)}^2+6$

$5=4\mathrm{a}+6$

$4\mathrm{a}=-1$

$\mathrm{a}=-\mathrm{0,25}$

Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel ${\mathrm{p}}_2$.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-\mathrm{0,25}{\mathrm{x}}^2+6$

Berechnen der Funktionsgleichung von $\text{g}$.

Um die Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$ berechnen zu können, müssen wir zuerst die Funktionsgleichung der Parabel ${\mathrm{p}}_1$ in die Scheitelform umwandeln.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3$

Umwandeln in die Scheitelform.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-1{)}^2-1-3$

Aufstellen der Scheitelform Parabel ${\mathrm{p}}_1$.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-1{)}^2-4\Rightarrow {\mathrm{S}}_1(1|-4)$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\mathrm{x}+\mathrm{t}$

Einsetzen der Koordinaten der Scheitelpunkte ${\mathrm{S}}_1$ und ${\mathrm{S}}_2$ in die allgemeine Geradengleichung.

$\mathrm{I}({\mathrm{S}}_1):\mathrm{m}\cdot 1+\mathrm{t}=-4$

$\mathrm{I}\mathrm{I}({\mathrm{S}}_2):\mathrm{m}\cdot 0+\mathrm{t}=6\Rightarrow \mathrm{t}=6$

Einsetzen in $\mathrm{I}$

$\mathrm{m}+6=-4$

$\mathrm{m}=-10$

Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$.

$\mathrm{g}:\mathrm{y}=-10\mathrm{x}+6$

Berechnen der Funktionsgleichung von $\text{𝐡}$.

Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, dann gilt:${\mathrm{m}}_1\cdot {\mathrm{m}}_2=-1$

Berechnen der Steigung ${\mathrm{m}}_{\mathrm{h}}$ der Geraden $\text{h}$.

${\mathrm{m}}_{\mathrm{g}}\cdot {\mathrm{m}}_{\mathrm{h}}=-1$

$-10\cdot {\mathrm{m}}_{\mathrm{h}}=-1$

${\mathrm{m}}_{\mathrm{h}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$

Einsetzen von ${\mathrm{m}}_{\mathrm{h}}$ und der Koordinaten des Punktes $\text{R}$ in die allgemeine Geradengleichung.

${\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot 4+\mathrm{t}=5$

$\mathrm{t}=5-\mathrm{0,4}$

$\mathrm{t}=\mathrm{4,6}$

Aufstellen der Funktionsgleichung der Geraden $\text{h}$.

$\mathrm{h}:\mathrm{y}={\displaystyle \frac{1}{10}}\mathrm{x}+\mathrm{4,6}$

Berechnung einer möglichen Funktionsgleichung der Parabel ${\mathrm{p}}_3$

Damit die Parabel ${\mathrm{p}}_3$ keinen gemeinsamen Punkt mit ${\mathrm{p}}_1$ und ${\mathrm{p}}_2$ hat, muss gelten:

${{\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}}_3={{\mathrm{x}}_{\mathrm{S}}}_1$ und ${{\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}}_3>{{\mathrm{y}}_{\mathrm{S}}}_2$

Eine solche Funktionsgleichung ist z. B.

${\mathrm{p}}_3:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-1{)}^2+7$

oder ausmultipliziert

${\mathrm{p}}_3:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+8$

Aufgabenteil b.)

Berechnen des Oberflächeninhalts des zusammengesetzten Körpers.

Berechnen der Seite $\text{𝐫}$ des roten Dreiecks:

Das braune Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligem Dreieck gilt:

$\sin (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}$

Angewandt auf das braune Dreieck:

$\sin (\mathrm{ϵ})={\displaystyle \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{S}}}\Rightarrow \mathrm{r}=\mathrm{S}\cdot \sin (\mathrm{ϵ})$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

$\mathrm{r}=\mathrm{12,6}\cdot \sin (33°)$

$\mathrm{r}=\mathrm{12,6}\cdot \mathrm{0,5446}$

$\underline{\mathrm{r}=\mathrm{6,86}\text{ cm}}$

Berechnen der Seite $\text{𝐛}$ mit dem Kosinussatz.

Der Kosinussatz lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{a}\mathrm{b}\cdot \cos \left(\mathrm{\gamma }\right)\mathrm{\gamma }={\displaystyle \frac{360°}{5}}=72°$(Innenwinkel regelmäßiges 5-Eck)

Angewandt auf das rote Dreieck:

${\mathrm{b}}^2={\mathrm{r}}^2+{\mathrm{r}}^2-2\cdot \mathrm{r}\cdot \mathrm{r}\cdot \cos \left(\mathrm{\gamma }\right)$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{b}}^2={\mathrm{6,86}}^2+{\mathrm{6,86}}^2-2\cdot \mathrm{6,86}\cdot \mathrm{6,86}\cdot \cos 72°$

${\mathrm{b}}^2=\mathrm{94,12}-\mathrm{94,12}\cdot \mathrm{0,3090}$

${\mathrm{b}}^2=\mathrm{94,12}-\mathrm{29,08}$

$\mathrm{b}=\sqrt{\mathrm{65,04}}$

$\underline{\mathrm{b}=\mathrm{8,06}\text{ cm}}$

Berechnen der Seite ${\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Angewandt auf das grüne Dreieck:

${\mathrm{S}}^2={\left({\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{2}}\right)}^2\Rightarrow {\left({\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}\right)}^2={\mathrm{S}}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{2}}\right)}^2$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\left({\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}\right)}^2={\mathrm{12,6}}^2-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,06}}{2}}\right)}^2$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{158,76}-\mathrm{16,24}}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{142,52}}$

$\underline{{\mathrm{h}}_{\mathrm{b}}=\mathrm{11,94}\text{ cm}}$

Berechnen der Fläche des grünen Dreiecks mit der Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{e}(\mathrm{b})\cdot \mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{h}\mathrm{e}({\mathrm{h}}_{\mathrm{b}})}{2}}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8,06}\cdot \mathrm{11,94}}{2}}$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{96,24}}{2}}$

$\underline{{\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{n}}}=\mathrm{48,12}\text{ cm}}$

Berechnen der Mantelfläche der Pyramide:

${\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{n}}}\cdot 5$

${\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{48,12}\cdot 5$

$\underline{\underline{{\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{240,60}{\text{ cm}}^2}}$

Berechnen der Fläche des blauen Rechtecks:

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{l}\cdot \mathrm{b}$

Angewandt auf das blaue Rechteck:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\mathrm{h}}_{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{b}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{5,6}\cdot \mathrm{8,06}$

$\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{45,14}{\text{ cm}}^2}$

Berechnen der Mantelfläche des Prismas:

${\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}={\mathrm{A}}_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}\cdot 5$

${\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}=\mathrm{45,14}\cdot 5$

$\underline{\underline{{\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}=\mathrm{225,70}{\text{ cm}}^2}}$

Berechnen der Fläche des roten Dreiecks mit der Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{a}\cdot \mathrm{b}\cdot \sin (\mathrm{\alpha })$

Angewandt auf das rote Dreieck:

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{r}\cdot \mathrm{r}\cdot \sin (\mathrm{\gamma })$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{6,86}\cdot \mathrm{6,86}\cdot \sin (72°)$

${\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{47,06}\cdot \mathrm{0,9511}$

$\underline{{\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}=\mathrm{22,38}{\text{ cm}}^2}$

Berechnen der Grundfläche des Prismas:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{l}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}}={\mathrm{A}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}\cdot 5$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{l}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}}=\mathrm{22,38}\cdot 5$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{l}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}}=\mathrm{111,90}{\text{ cm}}^2}}$$$

Die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers ist dann:

${\mathrm{O}}_{\mathrm{K}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}+{\mathrm{M}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{l}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{a}}}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{K}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\mathrm{240,60}+\mathrm{225,70}+\mathrm{111,90}$

${\mathrm{O}}_{\mathrm{K}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\mathrm{578,20}{\text{ cm}}^2$

Hinweis:

Wir haben die Zwischenergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet und damit weitergerechnet, wenn Du mit den Ergebnissen rechnest, die der Rechner liefert, erhältst Du ein geringfügig abweichendes Ergebnis.