Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass aus genau $25$ der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen

Es sind $n=30,p=\mathrm{0,85}$ und $k=25$ gegeben.

Berechne $P(X=25)=B(30;\mathrm{0,85};25)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{25}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^{25}\cdot {\mathrm{0,15}}^{30-25}\approx \mathrm{0,18611}$.

(Den Wert findet man auch im Tafelwerk.)

Die Wahrscheinlichkeit, dass aus genau $25$ der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen, beträgt etwa $\mathrm{0,18611}$.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3$: „Genau zwei der Zwiebeln gehen nicht auf und diese wurden direkt nebeneinander eingesetzt.“

Möchte man zwei Zwiebeln nebeneinander auf $30$ Plätzen anordnen, dann gibt es insgesamt $29$ verschieden Positionen.

$\Rightarrow P(E_3)=29\cdot \underset{\text{2 gehen nicht auf}}{\underbrace{{\mathrm{0,15}}^2}}\cdot \underset{\text{28 gehen auf}}{\underbrace{{\mathrm{0,85}}^{30-2}}}\approx \mathrm{0,00689}$

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3$: „Genau zwei der Zwiebeln gehen nicht auf und diese wurden direkt nebeneinander eingesetzt“, beträgt rund $\mathrm{0,00689}$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass aus mindestens $29$ der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen

$P(X\ge 29)=P(X=29)+P(X=30)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{29}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^{29}\cdot {\mathrm{0,15}}^1+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{30}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^{30}\cdot {\mathrm{0,15}}^0\approx \mathrm{0,04803}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass aus mindestens $29$ der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen, beträgt rund $\mathrm{0,04803}$.

Entscheide begründet, ob die folgende Aussage für alle Werte von $k$ mit $1\le k\le 29$ wahr ist: „Die Wahrscheinlichkeit, dass aus $30$ eingesetzten Tulpenzwiebeln mindestens $k$ Tulpen entstehen, liegt nicht unter $4\%$.“

Für $k=28$ gilt z.B.:

$P(X\ge 28)=P(X=28)+P(X=29)+P(X=30)=P(X=28)+P(X\ge 29)=P(X=28)+\mathrm{0,04803}>\mathrm{0,04}$

Die Behauptung stimmt, da für alle Werte von $k$ mit $1\le k\le 29$ gilt, dass die Wahrscheinlichkeit immer größer als $\mathrm{0,04}$ ist. (Bei allen möglichen Wahrscheinlichkeiten ist immer $P(X\ge 29)\approx \mathrm{0,048}$ enthalten.)