Berechnen des Flächeninhalts einer Seitenfläche.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}$

Angewandt auf das Dreieck $\text{ABS}$:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{S}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}{2}}$

Die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ ist bekannt, die Strecke $\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}$ muss berechnet werden.

Berechnen der Strecke $\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Angewandt auf das Dreieck $\text{MFS}$:

${\left(\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}\right)}^2={\left(\overline{\mathrm{M}\mathrm{F}}\right)}^2+{\left(\overline{\mathrm{F}\mathrm{S}}\right)}^2$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\left(\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}\right)}^2=3^2+6^2\Rightarrow \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}=\sqrt{45}$

$\underline{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}=\mathrm{6,71}\text{ m}}$

Der Flächeninhalt einer Seitenfläche (Dreieck) ist dann:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{6\cdot \mathrm{6,71}}{2}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{20,13}{\text{ m}}^2}}$

Der Flächeninhalt einer Seitenfläche der Pyramide beträgt: $\mathrm{20,13}{\text{ m}}^2$.

Berechnen des Winkels α.

Berechnen des Winkels $\mathrm{\alpha }$ mithilfe des Tangens.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}$

Für das grün markierte Dreieck gilt dann:

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{F}\mathrm{S}}}{\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}}}$

Die Strecke $\overline{\mathrm{F}\mathrm{S}}$ ist bekannt, die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}$ muss berechnet werden.

Berechnen der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Die Formel zur Berechnung der Diagonale in einem Quadrat lautet:

${\mathrm{d}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2\Rightarrow \mathrm{d}=\mathrm{a}\cdot \sqrt{2}\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{2}}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}={\displaystyle \frac{6\cdot \sqrt{2}}{2}}\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=3\cdot \sqrt{2}$

$\underline{\overline{\mathrm{A}\mathrm{F}}=\mathrm{4,24}\text{ m}}$

Der Winkel $\alpha$ ist dann:

$\tan (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{6}{\mathrm{4,24}}}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })=\mathrm{1,4151}$

$\underline{\underline{\mathrm{\alpha }=\mathrm{54,75}°}}$

Der Winkel $\mathrm{\alpha }$ beträgt: $\mathrm{54,75}°$.

Bestimmen des Vergrößerungsfaktors der Pyramide.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts einer Pyramide lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{G}\cdot \mathrm{h}$

Berechnen des Volumens der gegebenen Pyramide:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6^2\cdot 6$

$\underline{{\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}1}=72{\text{ m}}^2}$

Berechnen des Volumens der Pyramide mit verdoppelter Grundkante:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}2}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (2\cdot 6{)}^2\cdot 6$

$\underline{{\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}2}=288{\text{ m}}^2}$

Der Vergrößerungsfaktor $\text{𝐤}$ ist dann:

$\mathrm{k}={\displaystyle \frac{288}{72}}\Rightarrow \mathrm{k}=4$

Bei einer Verdoppelung der Länge der Grundkante wird das Volumen der Pyramide viermal so groß.

Berechnen des Preises des Sweatshirts im Januar 2021.

Im Dezember 2020 betrug der Preis des Sweatshirts $\mathrm{49,90}€$.

Der Mehrwertsteuersatz im Dezember 2020 war $16\%.$

Berechne den Preis des Sweatshirts mithilfe der Formel zur Berechnung des vermehrten Grundwertes.

Die Formel zur Berechnung des vermehrten Grundwertes lautet:

${\mathrm{G}}^{+}=\mathrm{G}\cdot (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{100}})$, wobei $\text{G}$ dem Preis ohne Mehrwertsteuer, und ${\mathrm{G}}^{+}$ dem Preis mit $$Mehrwertsteuer entspricht.

Preis ohne Mehrwertsteuer im Dezember 2020:

${\mathrm{G}}^{+}=\mathrm{G}\cdot (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{100}})$

$\mathrm{49,90}=\mathrm{G}\cdot (1+{\displaystyle \frac{16}{100}})\Rightarrow \mathrm{G}={\displaystyle \frac{\mathrm{49,90}}{\mathrm{1,16}}}$

$\underline{\mathrm{G}=\mathrm{43,02}€}$

Im Januar wurde der Mehrwertsteuersatz wieder auf $19\%$ erhöht.

Preis mit Mehrwertsteuer im Januar 2021:

${\mathrm{G}}^{+}=\mathrm{43,02}\cdot (1+{\displaystyle \frac{19}{100}})\Rightarrow {\mathrm{G}}^{+}=\mathrm{43,02}\cdot \mathrm{1,19}$

$\underline{\underline{{\mathrm{G}}^{+}=\mathrm{51,19}€}}$

Im Januar 2021 betrug der Preis des Sweatshirts $\mathrm{51,19}€$.

Berechnen des Einkaufspreises der Jacke.

Berechnen des Nettopreises der Jacke, der Nettopreis entspricht dem Bruttopreis der Jacke ohne Mehrwertsteuer.

${\mathrm{G}}^{+}=\mathrm{G}\cdot (1+{\displaystyle \frac{\mathrm{p}}{100}})$

$\mathrm{149,90}={\mathrm{G}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}}\cdot (1+{\displaystyle \frac{19}{100}})\Rightarrow {\mathrm{G}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}}={\displaystyle \frac{\mathrm{149,90}}{\mathrm{1,19}}}$

$\underline{{\mathrm{G}}_{\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}}=\mathrm{125,97}€}$

Berechnen des Einkaufpreises der Jacke, der Einkaufspreis entspricht dem Nettopreis der Jacke ohne dem Gewinnzuschlag.

$\mathrm{125,97}={\mathrm{G}}_{\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{f}}\cdot (1+{\displaystyle \frac{25}{100}})\Rightarrow {\mathrm{G}}_{\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{125,97}}{\mathrm{1,25}}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{G}}_{\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{f}}=\mathrm{100,78}€}}$

Der Einkaufspreis der Jacke beträgt: $\mathrm{100,78}€$.

Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für einen Rabatt von über $10\%$.

Um einen Rabatt zu erhalten, muss die Summe der gewürfelten Zahlen größer als $10$ sein.

Es gibt drei Möglichkeiten eine Summe größer als 10 zu würfeln:

$\mathrm{A}:1.\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}=5$ und $2.\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}=6:5+6=11$

$\mathrm{B}:1.\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}=6$ und $2.\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}=5:6+5=11$

$\mathrm{C}:1.\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}=6$ und $2.\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}=6:6+6=12$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}{\mathrm{P}}_{\mathrm{C}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$ 1. Pfadregel

${\mathrm{p}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}={\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{P}}_{\mathrm{C}}$2. Pfadregel

${\mathrm{P}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{1}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}+{\displaystyle \frac{1}{36}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{P}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{3}{36}}\approx \mathrm{8,3}\%}}$

Die Wahrscheinlichkeit einen Rabatt von über $10\%$ zu erhalten, beträgt etwa $\mathrm{8,3}\%$.