Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Abb. 1 aus Aufgabe 1 wird hier benötigt.

Weiterhin ist bekannt: $G$ hat genau einen Extrempunkt $(1 | \frac{5}{e})$ .

Betrachtet wird die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $g_{k} : x \mapsto - 5 x \cdot e^{- k x}$

mit $k \in ℝ \ {0}$ .

Abbildung 3 zeigt vier Graphen der Schar, die zu den Werten $k = - 1, k = - 0,5, k = 0,5$ und $k = 1$ gehören.

Der Graph III kann durch Spiegeln von $G$ (vgl. Abbildung 1) an der x-Achse erzeugt werden. Geben Sie den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des
Tiefpunkts von Graph III an.
Ordnen Sie den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
Gib den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an
Graph III: Der Wert von $k$ ist $k = 1$ .
$g_{1} (x) = - 5 x \cdot e^{- 1 x} = - f (x)$
$\Rightarrow g_{1} (x)$ wurde durch Spiegeln von $G$ an der x-Achse erzeugt.
$G$ hat genau einen Extrempunkt $(1 | \frac{5}{e})$ . Dann hat $G_{g_{1}}$ den $T P (1 | - \frac{5}{e})$ .
Ordne den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu
Die beiden positiven k-Werte gehören zu den Graphen im 4. Quadranten.
Da $g_{1} (x) = - f (x)$ ist, gehört Graph III zu $k = 1$ und Graph IV zu $k = 0,5$ .
Entsprechend gehört in 2. Quadranten der Graph I zu $k = - 0,5$ und Graph II zu $k = - 1$ .
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Betrachte $G$ aus Aufgabe 1.
$G$ wird an der x-Achse gespiegelt.
Welcher Graph ist es dann?
Die beiden positiven k-Werte gehören zu den Graphen im 4. Quadranten.
Entscheide entsprechend für den 2. Quadranten.
Zeigen Sie, dass $g_{k} (- x) = - g_{- k} (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt, und interpretieren Sie diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$ . (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
Zeige, dass $g_{k} (- x) = - g_{- k} (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt
$- g_{- k} (x) = - (- 5 x \cdot e^{- (- k) x}) = - 5 (- x) \cdot e^{- k (- x)} = g_{k} (- x)$
Interpretiere diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$
Die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$ sind zueinander symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Graphen der Funktionen $g_{1}$ und $g_{- 1}$
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Teil 1
Schreibe $- g_{- k} (x)$ auf und forme den Term so um, dass die Funktion $g_{k} (- x)$ entsteht.
Teil 2
Denke hier an Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.

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Gib den zugehörigen Wert von k sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an

Ordne den drei übrigen Werten von k den jeweils passenden Graphen zu

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Zeige, dass gk(−x)=−g−k(x) für alle x∈ℝ gilt

Interpretiere diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen gk und g−k

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Gib den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an

Ordne den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu

Zeige, dass $g_{k} (- x) = - g_{- k} (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt

Interpretiere diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$