Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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1
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto 5 x \cdot e^{- x}$ .
Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$ .
1. $G$ hat genau einen Extrempunkt.
  Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ .
  $(zur Kontrolle : (1 | \frac{5}{e}) ⁣)$ (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von $G$
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
  $f^{'} (x) = 5 (1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)) = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}$
  $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 0 = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}$
  Weil $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
  $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
  $f (1) = 5 \cdot 1 \cdot e^{- 1} = \frac{5}{e}$
  Die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ sind $(1 | \frac{5}{e})$ .
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung: $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{E}$
  Berechne noch $f (x_{E})$ und gibt die Koordinaten $(x_{E} | f (x_{E}))$ des Extrempunktes an.
2. Die Tangente $t$ an $G$ in dessen Wendepunkt hat die Gleichung $y = - \frac{5}{e^{2}} x + \frac{20}{e^{2}}$ .
  Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft
  Die Tangente $t$ an $G$ in dessen Wendepunkt hat die Gleichung $y = - \frac{5}{e^{2}} x + \frac{20}{e^{2}}$ .
  $\Rightarrow m_{W} = - \frac{5}{e^{2}} \Rightarrow m_{g} = \frac{e^{2}}{5}$ , da $m_{W} \cdot m_{g} = - 1$
  $g : y = \frac{5}{e^{2}} \cdot x + b$
  Setze die Koordinaten $(1 | \frac{5}{e})$ des Extrempunkts von $G$ in $g$ ein.
  $\frac{5}{e} = \frac{5}{e^{2}} \cdot 1 + b \Rightarrow b = \frac{5}{e} - \frac{5}{e^{2}}$
  Die Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft, ist $g : y = \frac{5}{e^{2}} \cdot x + \frac{5}{e} - \frac{5}{e^{2}}$
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  Es ist $g : y = m_{g} \cdot x + b$ .
  Dabei ist $m_{W} \cdot m_{g} = - 1$ . Da $m_{W}$ gegeben ist, kann $m_{g}$ berechnet werden.
  Setze die Koordinaten $(1 | \frac{5}{e})$ des Extrempunkts von $G$ in $g$ ein und berechne den y-Achsenabschnitt.
3. Betrachtet wird die in $[1; + \infty [$ definierte Funktion $h$ mit $h (x) = f (x)$ .
  Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an. (6 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
  Begründe, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist
  Aus Abbildung 1 entnimmt man, dass es zwei x-Werte gibt, für die $f (x) = 1,5$ ist. Daher ist $f$ nicht umkehrbar.
  Es ist $f^{'} (x) = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}$ und $f^{'} (x) < 0$ in $] 1; + \infty [$ .
  Die Funktion $h$ ist umkehrbar, da $f$ im Intervall $[1; + \infty [$ streng monoton ist.
  Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an
  Gegeben ist $D_{h} = [1; + \infty [$ . Dann ist $W_{h^{- 1}} = [1; + \infty [$ .
  Die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ sind $(1 | \frac{5}{e})$ $\Rightarrow y_{max} = \frac{5}{e}$
  Weiterhin gilt: $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$ , dann ist $D_{h^{- 1}} =] 0; \frac{5}{e}]$
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  Teil 1
  Finde zwei x-Werte gibt, die den gleichen Funktionswert $f (x)$ haben. Daher ist $f$ nicht umkehrbar.
  Es ist $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$ . Zeige, dass $h$ im Intervall $[1; + \infty [$ streng monoton fallend ist.
  Teil 2
  Gegeben ist $D_{h} = [1; + \infty [$ . Dann ist $W_{h^{- 1}} = D_{h}$ .
  Die Koordinaten des Extrempunkts von $G$ sind $(1 | \frac{5}{e})$ $\Rightarrow y_{max} = \frac{5}{e}$ und $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0 \Rightarrow D_{h^{- 1}}$ .
4. Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt. Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Geraden mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_{1}$ und $H_{2}$ beschrieben:
  $H_{1}$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Geraden mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.
  $H_{2}$ entsteht durch Spiegeln von $H_{1}$ an der Geraden mit der Gleichung $x = \ln 5$ .
  Der Punkt $S (\ln 5 | \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_{1}$ und $H_{2}$ .
  Begründen Sie, dass mit dem Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Begründe, dass mit dem Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann
  Der Flächeninhalt des braun eingezeichneten Rechtecks ist $A = (5 - \ln 5) \cdot \ln 5$
  (Länge: $(5 - \ln 5)$ , Breite $\ln 5$ )
  Beachte, $h (x) = f (x)$ , mit $D_{h} =$ $[1; + \infty [$ .
  Dann ist $\int_{\ln 5}^{5} f (x) d x$ der Flächeninhalt, den $G$ und die Geraden $x = \ln 5$ und $x = 5$ mit der x-Achse einschließen.
  Bildet man die Differenz von $A$ und $\int_{\ln 5}^{5} f (x) d x$ , dann erhält man den Flächeninhalt der grün schraffierten Fläche.
  Spiegelt man die grün schraffierte Fläche an der Geraden $y = x$ , erhält man den Flächeninhalt der linken Hälfte des Wappens.
  Der gesamte Flächeninhalt der Figur ist dann $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$
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  Betrachte das Viereck, das zwischen den Geraden $y = 0, y = \ln 5, x = \ln 5$ und $x = 5$ liegt. Gib seinen Flächeninhalt an $\Rightarrow A_{1}$ .
  Welchen Flächeninhalt beschreibt $A_{2} = \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x$ ?
  Welcher Flächeninhalt ist dann die Differenz zwischen $A_{1}$ und $A_{2}$ ?
5. Die in $ℝ$ definierte Funktion $F : x \mapsto - 5 (x + 1) \cdot e^{- x}$ ist eine Stammfunktion von $f$ . Berechnen Sie mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau
  Gegeben ist $F (x) = - 5 (x + 1) \cdot e^{- x}$ .
  Weiterhin gilt: $A = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x) = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - (F (5) - F (\ln 5))$
  $F (5) = - 5 (5 + 1) \cdot e^{- 5} = - 30 \cdot e^{- 5}$
  $F (\ln 5) = - 5 (\ln 5 + 1) \cdot e^{- \ln 5} = - 5 (\ln 5 + 1) \cdot 0,2$
  Dann ist $A = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - (- 30 \cdot e^{- 5} - (- 5 (\ln 5 + 1) \cdot 0,2))$
  $A = 2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 + 30 \cdot e^{- 5} - 1 \cdot (\ln 5 + 1))) \approx 6,1$
  Der Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau berechnet, beträgt rund $6,1 FE$ .
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  Berechne $\int_{\ln 5}^{5} f (x) d x = F (5) - F (\ln 5)$ und setze in den Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ ein.
2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Abb. 1 aus Aufgabe 1 wird hier benötigt.
Weiterhin ist bekannt: $G$ hat genau einen Extrempunkt $(1 | \frac{5}{e})$ .
Betrachtet wird die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $g_{k} : x \mapsto - 5 x \cdot e^{- k x}$
mit $k \in ℝ \ {0}$ .
Abbildung 3 zeigt vier Graphen der Schar, die zu den Werten $k = - 1, k = - 0,5, k = 0,5$ und $k = 1$ gehören.
1. Der Graph III kann durch Spiegeln von $G$ (vgl. Abbildung 1) an der x-Achse erzeugt werden. Geben Sie den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des
  Tiefpunkts von Graph III an.
  Ordnen Sie den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
  Gib den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an
  Graph III: Der Wert von $k$ ist $k = 1$ .
  $g_{1} (x) = - 5 x \cdot e^{- 1 x} = - f (x)$
  $\Rightarrow g_{1} (x)$ wurde durch Spiegeln von $G$ an der x-Achse erzeugt.
  $G$ hat genau einen Extrempunkt $(1 | \frac{5}{e})$ . Dann hat $G_{g_{1}}$ den $T P (1 | - \frac{5}{e})$ .
  Ordne den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu
  Die beiden positiven k-Werte gehören zu den Graphen im 4. Quadranten.
  Da $g_{1} (x) = - f (x)$ ist, gehört Graph III zu $k = 1$ und Graph IV zu $k = 0,5$ .
  Entsprechend gehört in 2. Quadranten der Graph I zu $k = - 0,5$ und Graph II zu $k = - 1$ .
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  Betrachte $G$ aus Aufgabe 1.
  $G$ wird an der x-Achse gespiegelt.
  Welcher Graph ist es dann?
  Die beiden positiven k-Werte gehören zu den Graphen im 4. Quadranten.
  Entscheide entsprechend für den 2. Quadranten.
2. Zeigen Sie, dass $g_{k} (- x) = - g_{- k} (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt, und interpretieren Sie diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$ . (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
  Zeige, dass $g_{k} (- x) = - g_{- k} (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt
  $- g_{- k} (x) = - (- 5 x \cdot e^{- (- k) x}) = - 5 (- x) \cdot e^{- k (- x)} = g_{k} (- x)$
  Interpretiere diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$
  Die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$ sind zueinander symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
  Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
  Sie dient nur der Veranschaulichung.
  Graphen der Funktionen $g_{1}$ und $g_{- 1}$
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  Teil 1
  Schreibe $- g_{- k} (x)$ auf und forme den Term so um, dass die Funktion $g_{k} (- x)$ entsteht.
  Teil 2
  Denke hier an Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von G

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Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von G enthält und senkrecht zu t verläuft

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Begründe, dass die Funktion f nicht umkehrbar, die Funktion h jedoch umkehrbar ist

Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von h an

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Begründe, dass mit dem Term 2⋅((5−ln⁡5)⋅ln⁡5−∫ln⁡55f(x)dx) der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann

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Berechne mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau

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Gib den zugehörigen Wert von k sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an

Ordne den drei übrigen Werten von k den jeweils passenden Graphen zu

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Zeige, dass gk(−x)=−g−k(x) für alle x∈ℝ gilt

Interpretiere diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen gk und g−k

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Berechne die Koordinaten des Extrempunkts von $G$

Ermittle eine Gleichung der Geraden, die den Extrempunkt von $G$ enthält und senkrecht zu $t$ verläuft

Begründe, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar, die Funktion $h$ jedoch umkehrbar ist

Gib den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von $h$ an

Begründe, dass mit dem Term $2 \cdot ((5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^{5} f (x) d x)$ der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann

Gib den zugehörigen Wert von $k$ sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an

Ordne den drei übrigen Werten von $k$ den jeweils passenden Graphen zu

Zeige, dass $g_{k} (- x) = - g_{- k} (x)$ für alle $x \in ℝ$ gilt

Interpretiere diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen $g_{k}$ und $g_{- k}$