Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Graph durch den Punkt $(1|0)$ verläuft

Gegeben ist $f(x)=4x^3-6x\Rightarrow F(x)=x^4-3x^2+C$

Setze $(1|0)$ in $F$ ein:

$0=1^4-3\cdot 1^2+C\Rightarrow C=2$

Die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Graph durch den Punkt $(1|0)$ verläuft, lautet $F(x)=x^4-3x^2+2$.

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass$${\displaystyle {\int }_{-3}^{3}f(x)\mathrm{d}x=0}$$ ist

Der Term von $f$ enthält nur Potenzen von $x$ mit ungeraden Exponenten, d.h. $G_f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Intervall $[-3;3]$ ist symmetrisch zu $0$.

Demnach hat das $${\displaystyle {\int }_{-3}^{3}f(x)\mathrm{d}x}$$ den Wert Null.