Pflichtteil

Bestimme rechnerisch eine Gleichung von $t$

Gegeben sind $f(x)={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-1$ und $P(4|1)$.

Ansatz für die Tangentengleichung:

$t:y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m=f^{\prime }(4)$.

Berechne $f^{\prime }(4)$:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2-{\displaystyle \frac{6}{8}}x\Rightarrow f^{\prime }(4)={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot 4^2-{\displaystyle \frac{6}{8}}\cdot 4=6-3=3\Rightarrow m=3$

Dann ist $t:y=3\cdot x+b$.

Setze $P(4|1)$ ein:

$1=3\cdot 4+b\Rightarrow b=1-12=-11$

Die Gleichung von $t$ ist $y=3\cdot x-11$

Es gibt genau eine weitere Tangente an $G$, die parallel zu $t$ verläuft.

Skizziere diese in der Abbildung

Interpretiere den Term ${\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^2$ im Sachzusammenhang

Auf dem Glücksrad gibt es dreimal die $6$, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass eine $6$ kommt ist ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. Die Potenz $2$ besagt, dass zweimal gedreht wird.

Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine $6$ zu erhalten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen ungerade ist

Folgende Ereignisse ergeben eine ungerade Zahl:

$\{5;6\},\{6;5\},\{6;7\},\{7;6\}$

$\Rightarrow P(\{5;6\},\{6;5\},\{6;7\},\{7;6\})={\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{3+3+12+12}{64}}={\displaystyle \frac{30}{64}}$

oder berechne $P(\{6;\overline{6}\})+P(\{\overline{6};6\})={\displaystyle \frac{3}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{30}{64}}$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen ungerade ist, beträgt ${\displaystyle \frac{30}{64}}$.

Zeige, dass der Punkt $P(4|3|3)$ nicht auf $g$ liegt

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I})$ folgt: $s=1$.

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):3=-3+1\cdot 3\Rightarrow 3=0$ ist eine falsche Aussage.

Der Punkt $P(4|3|3)$ liegt nicht auf $g$.

Gib die Koordinaten eines Punktes $Q$ an, der auf $g$ liegt und sich nur in einer Koordinate von $P$ unterscheidet

Der Punkt $(4|3|0)$ liegt auf $g$ und unterscheidet sich nur in einer Koordinate von $P$.

Untersuche, ob $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen

Bekannt ist: Die Gerade $h$ verläuft parallel zur y-Achse $\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ ist Richtungsvektor von $h$.

Der Richtungsvektor von $g$ ist $\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.

Stehen die beiden Geraden senkrecht aufeinander, muss das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren gleich null sein.

$\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0\Rightarrow g⟂h$.

$g$ und $h$ verlaufen senkrecht zueinander.

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Graph durch den Punkt $(1|0)$ verläuft

Gegeben ist $f(x)=4x^3-6x\Rightarrow F(x)=x^4-3x^2+C$

Setze $(1|0)$ in $F$ ein:

$0=1^4-3\cdot 1^2+C\Rightarrow C=2$

Die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Graph durch den Punkt $(1|0)$ verläuft, lautet $F(x)=x^4-3x^2+2$.

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass$${\displaystyle {\int }_{-3}^{3}f(x)\mathrm{d}x=0}$$ ist

Der Term von $f$ enthält nur Potenzen von $x$ mit ungeraden Exponenten, d.h. $G_f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Intervall $[-3;3]$ ist symmetrisch zu $0$.

Demnach hat das $${\displaystyle {\int }_{-3}^{3}f(x)\mathrm{d}x}$$ den Wert Null.

Erstelle zum beschriebenen Sachverhalt ein beschriftetes Baumdiagramm

$A$: Dem Spieler wird der Startpunkt $A$ zugewiesen.

Dann ist $\overline{A}:$dem Spieler wird der Startpunkt $B$ zugewiesen.

$C$: Der Spieler trifft im Spiel auf den Charakter.

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

Gegeben: $P(\overline{A}\cap C)=\mathrm{0,42}\Rightarrow \mathrm{0,42}=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,7}$ $\Rightarrow P_{\overline{A}}(C)=\mathrm{0,7}\Rightarrow P_{\overline{A}}(\overline{C})=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

Dann kann das folgende Baumdiagramm gezeichnet werden.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann: $1-(\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,8}+\mathrm{0,42})$

$\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,8}+\mathrm{0,42}=P(A\cap C)+P(\overline{A}\cap C)$ ist die Wahrscheinlichkeit im Spiel auf den Charakter zu treffen und $1-(P(A\cap C)+P(\overline{A}\cap C))$ ist das Gegenereignis, d.h. nicht auf den Charakter zu treffen.

Ereignis: Der Spieler trifft im Spiel nicht auf den Charakter.

Begründe, dass die Punkte $P$ und $Q$ auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene liegen

Betrachte die $z$-Koordinaten der beiden Punkte. Beide Punkte haben bei den $z$-Koordinaten das gleiche Vorzeichen, d.h. die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf derselben Seite bezüglich der xy-Ebene.

Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks

Die Mitte $M$ der Basis hat die Koordinaten $M(2|1|-2)$.

Dann gilt für den Vektor $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\left|\overrightarrow{MP}\right|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$

$A_{OQP}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left|\overrightarrow{OQ}\right|\cdot \left|\overrightarrow{MP}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot \sqrt{2}=3\cdot \sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ beträgt $3\cdot \sqrt{2}\mathrm{FE}$.

Skizziere den verschobenen Graphen in der Abbildung

Berechne $c$

Wegen der $y$-Achsensymmetrie der Funktion $f$ (nur gerade Exponenten) reicht es, nur die rechte Seite des Quadrates zu betrachten. Die Funktion $f$ muss so verlaufen, dass die Flächenanteile oberhalb der $x$-Achse und unterhalb der $x$-Achse gleich groß sind.

$$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^1(x^4-x^2+c)\mathrm{d}x=0}$$

$\Rightarrow {[{\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^5-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+cx]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}+c=0\Rightarrow c={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$

Der Graph von $f$ muss um $c={\displaystyle \frac{2}{15}}$ in $y$-Richtung verschoben werden, sodass der Graph das Quadrat in zwei Flächen gleichen Inhalts teilt.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Begründe, dass $n$ nicht gerade ist

Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E(X)$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Gibt es zwei gleich große Werte, dann ist der Erwartungswert der Mittelwert der beiden Werte.

Es ist $p=\mathrm{0,5}$.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nimmt sowohl bei $k=10$ und bei $k=11$ ihren größten Wert an. Daher ist der Erwartungswert $E(X)=n\cdot \mathrm{0,5}$ nicht ganzzahlig.

Demnach kann $n$ nicht gerade sein.

Berechne unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$

Es gilt $P(X\ge 9)\approx \mathrm{0,81}$ und $P(X=12)=P(X=9)\approx \mathrm{0,14}$ (siehe Abbildung).

Weiterhin erkennt man aus der Abbildung $P(X\le 10)=P(X\ge 11)=\mathrm{0,5}$.

Dann gilt: $P(X\ge 9)=P(X=9)+P(X=10)+P(X\ge 11)$

Setze die entsprechenden Werte ein und löse nach $P(X=10)$ auf.

$\mathrm{0,81}=\mathrm{0,14}+P(X=10)+\mathrm{0,5}\Rightarrow P(X=10)\approx \mathrm{0,81}-\mathrm{0,14}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,17}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,17}$.

Zeige, dass der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ senkrecht zur Ebene $E$ steht

Der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ muss senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$ der Ebene $E$ sein, d.h. das Skalarprodukt muss jeweils gleich null sein.

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right)=-12+12+0=0$ und $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)=12-12+0=0$

Damit steht der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ senkrecht zur Ebene $E$.

Bestimme die Koordinaten eines Punkts $P$

Ein Punkt der Ebene $E$ ist $Q(1|-3|0)$.

Weiterhin gilt: Der Vektor $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ steht senkrecht zur Ebene $E$ und $\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)\right|=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=\sqrt{25}=5$.

Dann folgt: $\overrightarrow{OQ}+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\overrightarrow{OP}$ und $|\overrightarrow{QP}|=10$.

Für $\overrightarrow{OP}$ erhält man dann: $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\overrightarrow{OP}$

Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(9|3|0)$.

Wird der Punkt $P$ an der Ebene $E$ gespiegelt, dann hat der gespiegelte Punkt $P^{\prime }$ einen Abstand von $20$ zum Punkt $P$.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.