Begründe, dass $n$ nicht gerade ist

Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E(X)$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Gibt es zwei gleich große Werte, dann ist der Erwartungswert der Mittelwert der beiden Werte.

Es ist $p=\mathrm{0,5}$.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nimmt sowohl bei $k=10$ und bei $k=11$ ihren größten Wert an. Daher ist der Erwartungswert $E(X)=n\cdot \mathrm{0,5}$ nicht ganzzahlig.

Demnach kann $n$ nicht gerade sein.

Berechne unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$

Es gilt $P(X\ge 9)\approx \mathrm{0,81}$ und $P(X=12)=P(X=9)\approx \mathrm{0,14}$ (siehe Abbildung).

Weiterhin erkennt man aus der Abbildung $P(X\le 10)=P(X\ge 11)=\mathrm{0,5}$.

Dann gilt: $P(X\ge 9)=P(X=9)+P(X=10)+P(X\ge 11)$

Setze die entsprechenden Werte ein und löse nach $P(X=10)$ auf.

$\mathrm{0,81}=\mathrm{0,14}+P(X=10)+\mathrm{0,5}\Rightarrow P(X=10)\approx \mathrm{0,81}-\mathrm{0,14}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,17}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,17}$.