Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe R3

Die Ebene $E$ wird durch die Gleichung $\vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ mit $r, s \in ℝ$ beschrieben.

Zeigen Sie, dass der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ steht. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige, dass der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ steht
Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ muss senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren $(\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ der Ebene $E$ sein, d.h. das Skalarprodukt muss jeweils gleich null sein.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}) = - 12 + 12 + 0 = 0$ und $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) = 12 - 12 + 0 = 0$
Damit steht der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ .
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Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ muss senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren $(\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 1 \end{array})$ und $(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ der Ebene $E$ sein, d.h. das Skalarprodukt muss jeweils gleich null sein.
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts $P$ mit folgender Eigenschaft:
Wird der Punkt $P$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt $P$ den Abstand $20$ . [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelungen in der analytischen Geometrie
Bestimme die Koordinaten eines Punkts $P$
Ein Punkt der Ebene $E$ ist $Q (1 | - 3 | 0)$ .
Weiterhin gilt: Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ steht senkrecht zur Ebene $E$ und $| (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
Dann folgt: $\vec{O Q} + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = \vec{O P}$ und $| \vec{Q P} | = 10$ .
Für $\vec{O P}$ erhält man dann: $(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = \vec{O P}$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (9 | 3 | 0)$ .
Wird der Punkt $P$ an der Ebene $E$ gespiegelt, dann hat der gespiegelte Punkt $P^{'}$ einen Abstand von $20$ zum Punkt $P$ .
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Ein Punkt der Ebene $E$ ist $Q (1 | - 3 | 0)$ .
Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ steht senkrecht zur Ebene $E$ und $| (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
Dann folgt: $\vec{O Q} + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = \vec{O P}$ und $| \vec{O P} | = 10$ .

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Aufgabe R3

Zeige, dass der Vektor (430) senkrecht zur Ebene E steht

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Bestimme die Koordinaten eines Punkts P

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Zeige, dass der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ senkrecht zur Ebene $E$ steht

Bestimme die Koordinaten eines Punkts $P$