Beurteile die folgende Aussage: $${\displaystyle {\int }_0^{x_S}(g(x)-f(x))\mathrm{d}x=2\cdot {\displaystyle {\int }_0^{x_S}(x-f(x))\mathrm{d}x}}$$

Betrachte die Skizze:

Die zwischen den beiden Graphen $G_g$ und $G_f$ eingeschlossene Fläche ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden $y=x$.

Die $\text{grün}$ markierte Fläche ist das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{x_S}(x-f(x))\mathrm{d}x}$$.

Der gesuchte Flächeninhalt ist doppelt so groß wie die $\text{grün}$ markierte Fläche.

Daher ist $${\displaystyle {\int }_0^{x_S}(g(x)-f(x))\mathrm{d}x=2\cdot {\displaystyle {\int }_0^{x_S}(x-f(x))\mathrm{d}x}}$$

Die Aussage ist also wahr.