Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gib eine Gleichung der senkrechten und eine Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von $f$ an

Senkrechte Asymptote: $x=0$

(Wegen ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ handelt es sich um eine Asymptote an einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.)

Waagerechte Asymptote: $y=1$

(Es ist $${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=1}$$.)

Anmerkung: Die Angabe der Gleichungen reicht.

Berechne den Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x}$$

$${\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{x}}+x]}_1^2=(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2)-(-{\displaystyle \frac{1}{1}}+1)=\mathrm{1,5}-0=\mathrm{1,5}}$$

Der Wert des Integrals ist $\mathrm{1,5}$.

Gib den Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x}$$ an

Beachte: $f(x)$ ist in $[0;\pi ]$ punktsymmetrisch zu $(\frac{\pi }{2}|0)$.

Es gilt dann: $${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x=-{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=0}}}$$

Der Wert des Integrals $${\displaystyle {\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x}$$ ist null.

Ermittle $a$ und $b$

Gegeben sind $f(x)=3\cdot cos(x)$ und $g(x)=a\cdot f(x)+b\cdot x$.

$\Rightarrow g(x)=a\cdot 3\cdot cos(x)+b\cdot x$

Setze $(0|-3)$ in $g(x)$ ein:

$-3=a\cdot 3\cdot cos(0)+b\cdot 0\Rightarrow -3=3a\Rightarrow a=-1$

Setze $\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right|{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )$ und $a=-1$ in $g(x)$ ein:

${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi =-1\cdot 3\cdot cos\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)+b\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi =b\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow b={\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{1,5}$

Ergebnis: $a=-1$ und $b=\mathrm{1,5}$.