Teil A: Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ durch $f_{a} (x) = x \cdot e^{- a \cdot x^{2}}$ mit $a \in ℝ$ und $a > 0$ . Jeder Graph der Schar verläuft durch den Koordinatenursprung.

Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben. [ 3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zeige, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben
Gegeben: $f_{a} (x) = x \cdot e^{- a \cdot x^{2}}$
Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
$f_{a}^{'} (x) = 1 \cdot e^{- a \cdot x^{2}} + x \cdot e^{- a \cdot x^{2}} \cdot (- 2 a x) = e^{- a \cdot x^{2}} \cdot (1 - 2 a x^{2})$
$f_{a}^{'} (0) = e^{- a \cdot 0^{2}} \cdot (1 - 2 a \cdot 0^{2}) = 1$ , d.h. $f_{a}^{'} (0)$ ist unabhängig von $a$ .
Alle Graphen der Schar haben im Koordinatenursprung die gleiche Steigung.
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Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
Berechne $f_{a}^{'} (0)$ und zeige, dass die 1. Ableitung im Ursprung unabhängig von $a$ ist.
Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind. [ 2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind
Bei Punktsymmetrie gilt: $f_{a} (- x) = - f_{a} (x)$ .
$f_{a} (- x) = - x \cdot e^{- a \cdot (- x)^{2}} = - x \cdot e^{- a \cdot x^{2}} = - f_{a} (x)$
Alle Graphen der Schar sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
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Bei Punktsymmetrie gilt: $f_{a} (- x) = - f_{a} (x)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Pflichtaufgabe 2

Zeige, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben

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Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind

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