Zeige, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben

Gegeben: $f_a(x)=x\cdot {\mathrm{e}}^{-a\cdot x^2}$

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$f_a^{\prime }(x)=1\cdot e^{-a\cdot x^2}+x\cdot e^{-a\cdot x^2}\cdot (-2ax)=e^{-a\cdot x^2}\cdot (1-2a{x}^2)$

$f_a^{\prime }(0)=e^{-a\cdot 0^2}\cdot (1-2a\cdot 0^2)=1$, d.h. $f_a^{\prime }(0)$ ist unabhängig von $a$.

Alle Graphen der Schar haben im Koordinatenursprung die gleiche Steigung.

Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind

Bei Punktsymmetrie gilt: $f_a(-x)=-f_a(x)$.

$f_a(-x)=-x\cdot {\mathrm{e}}^{-a\cdot (-x{)}^2}=-x\cdot {\mathrm{e}}^{-a\cdot x^2}=-f_a(x)$

Alle Graphen der Schar sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.