Teil A: Pflichtteil

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Pflichtaufgabe 1
Für $k \in ℝ, k > 0$ , sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{k}$ und $g_{k}$ gegeben durch: $f_{k} (x) = x \cdot (x - k)$ und $g_{k} (x) = k \cdot x$ .
1. Zeigen Sie für alle $k > 0$ , dass die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ haben. [ 2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Zeige für alle $k > 0$ , dass die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ haben
  Löse die Gleichung $f_{k} = g_{k}$ :
  $x \cdot (x - k)$ $=$ $k \cdot x$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $x^{2} - k \cdot x$ $=$ $k \cdot x$ $- k \cdot x$
  $x^{2} - 2 k \cdot x$ $=$ $0$
  ↓
  Klammere $x$ aus.
  $x (x - 2 k)$ $=$ $0$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt erhältst Du die beiden Lösungen $x = 0 \lor x = 2 k$ .
  Die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ haben exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ .
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  Löse die Gleichung $f_{k} = g_{k}$ .
2. Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ . Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird. [ 3 BE]
  Abbildung 1
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird
  Die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ haben exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ .
  Für $k = 1$ haben $f_{1}$ und $g_{1}$ demnach Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2$ .
  Gesucht ist also folgende Fläche:
  $A = A_{1} + A_{2}$ mit $A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ und $A_{2} = \int_{1}^{2} (g_{1} (x) - f_{1} (x)) d x$ .
  $A_{2} = \int_{1}^{2} (g_{1} (x) - f_{1} (x)) d x = \int_{1}^{2} (x - x (x - 1)) d x = \int_{1}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x$
  $A_{2} = \int_{1}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x = {[- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}]}_{1}^{2} = (- \frac{8}{3} + 4) - (- \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 1^{2}) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
  $A = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$
  Der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, beträgt $\frac{7}{6} FE$ .
  Alternativ kann die Flächenberechnung auch als Differenz der großen Dreiecksfläche und der von $f_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche von $x = 1$ bis $x = 2$ erfolgen.
  $A = A_{1} - A_{2}$ mit $A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ und $A_{2} = \int_{1}^{2} f_{1} (x) d x$ .
  $A_{2} = \int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x = {[\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
  $A = 2 - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$
  Der Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird, beträgt $\frac{7}{6} FE$ .
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Pflichtaufgabe 2
Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ durch $f_{a} (x) = x \cdot e^{- a \cdot x^{2}}$ mit $a \in ℝ$ und $a > 0$ . Jeder Graph der Schar verläuft durch den Koordinatenursprung.
1. Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben. [ 3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zeige, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben
  Gegeben: $f_{a} (x) = x \cdot e^{- a \cdot x^{2}}$
  Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel:
  $f_{a}^{'} (x) = 1 \cdot e^{- a \cdot x^{2}} + x \cdot e^{- a \cdot x^{2}} \cdot (- 2 a x) = e^{- a \cdot x^{2}} \cdot (1 - 2 a x^{2})$
  $f_{a}^{'} (0) = e^{- a \cdot 0^{2}} \cdot (1 - 2 a \cdot 0^{2}) = 1$ , d.h. $f_{a}^{'} (0)$ ist unabhängig von $a$ .
  Alle Graphen der Schar haben im Koordinatenursprung die gleiche Steigung.
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  Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
  Berechne $f_{a}^{'} (0)$ und zeige, dass die 1. Ableitung im Ursprung unabhängig von $a$ ist.
2. Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind. [ 2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
  Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind
  Bei Punktsymmetrie gilt: $f_{a} (- x) = - f_{a} (x)$ .
  $f_{a} (- x) = - x \cdot e^{- a \cdot (- x)^{2}} = - x \cdot e^{- a \cdot x^{2}} = - f_{a} (x)$
  Alle Graphen der Schar sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
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  Bei Punktsymmetrie gilt: $f_{a} (- x) = - f_{a} (x)$ .
3
Pflichtaufgabe 3
Abbildung 2 zeigt einen Würfel $A B C D E F G H$ der Kantenlänge $4 L E$ in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.
Die Ebene $K$ enthält die Punkte $A (0 | 0 | 0)$ , $B (4 | 0 | 0)$ und den Mittelpunkt der Kante $F G$ .
Abbildung 2
1. Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Volumen des kleineren Teilkörpers. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Würfelseite
  Betrachte die Seite $A D H E$ des Würfels. Die Ebene $K$ verläuft durch die Punkte $M_{2}$ und $A$ . Der Flächeninhalt des Dreiecks $A M_{2} E$ ist $\frac{1}{4}$ des Flächeninhalts der Würfelseite.
  Also ist auch das Volumen des kleineren Teilkörpers $\frac{1}{4}$ des Würfelvolumens.
  $V_{klein} = \frac{1}{4} \cdot 4^{3} = 16$
  Das Volumen des kleineren Teilkörpers beträgt $16 VE$ .
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  Halbiere den Würfel durch den Mittelpunkt der Kante $[F G]$ . Dann teilt die Ebene $K$ die linke Würfelhälfte in zwei gleich Teile. Ein Teil davon ist der kleinere Teilkörper.
  Berechne sein Volumen.
2. Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $B C$ .
  Zeichnen Sie die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in Abbildung 2 ein und geben Sie eine Gleichung der Schnittgerade der Ebenen $K$ und $L$ an. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein
  Ebene $L$
  Gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an
  Die Abbildung in Aufgabe a) zeigt den Punkt $S (0 | 1 | 2)$ .
  $S$ liegt auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen $K$ und $L$ .
  Die Schnittgerade verläuft parallel zu x-Achse.
  Dann lautet die Schnittgeradengleichung:
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ .
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  Teil 1
  Zeichne, wie angegeben, die Ebene $L$ ein.
  Teil 2
  Ein Punkt, der auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegt, ist $(0 | 1 | 2)$ .
  Die Schnittgerade verläuft parallel zur x-Achse.
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Pflichtaufgabe 4
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $𝑋_{1}$ mit den Parametern $𝑛_{1}$ und $𝑝_{1}$ .
Abbildung 3 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{1}$ .
Abbildung 3
1. Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung: $P (16 \leq X_{1} \leq 20) > 0,5$ . [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: $P (16 \leq X_{1} \leq 20) > 0,5$
  Die Aussage ist falsch.
  Der Abbildung 3 kann man entnehmen, dass jeder der fünf zu betrachtenden Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{1}$ kleiner als $0,1$ ist.
  Die Summe dieser fünf Werte muss dann kleiner als $0,5$ sein und ist nicht größer als $0,5$ .
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  Entnimm der Abbildung die Werte von $P (X = 16)$ bis $P (X = 20)$ .
  Wie groß kann diese Summe höchsten sein?
2. Betrachtet wird zudem die binomialverteilte Zufallsgröße $𝑋_{2}$ mit den Parametern $𝑛_{2}$ und $𝑝_{2}$ .
  Abbildung 4 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{2}$ .
  Abbildung 4
  Die Erwartungswerte von $𝑋_{1}$ und $𝑋_{2}$ sind ganzzahlig und es gilt $𝑛_{1} = 𝑛_{2}$ .
  Weisen Sie unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt.
  [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt
  Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E (X)$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit.
  In der Abbildung 3 ist der Erwartungswert $E (X_{1}) = 14 = n_{1} \cdot p_{1}$ .
  In der Abbildung 4 ist der Erwartungswert $E (X_{2}) = 56 = n_{2} \cdot p_{2}$ .
  $\Rightarrow n_{2} \cdot p_{2} = 56 = 4 \cdot 14 = 4 \cdot n_{1} \cdot p_{1}$
  Nach Aufgabenstellung gilt: $𝑛_{1} = 𝑛_{2}$ $\Rightarrow p_{2} = 4 \cdot p_{1}$ .
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  Lies in beiden Abbildungen den Erwartungswert $E (X) = n \cdot p$ ab und vergleiche.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x \cdot (x - k)$	$=$	$k \cdot x$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x^{2} - k \cdot x$	$=$	$k \cdot x$	$- k \cdot x$
$x^{2} - 2 k \cdot x$	$=$	$0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$x (x - 2 k)$	$=$	$0$

Teil A: Pflichtteil

Pflichtaufgabe 1

Zeige für alle k>0, dass die Graphen von fk und gk exakt zwei Schnittstellen bei x=0 und x=2k haben

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Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von f1 und g1 und der x-Achse eingeschlossen wird

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Pflichtaufgabe 2

Zeige, dass alle Graphen der Schar im Koordinatenursprung die gleiche Steigung haben

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Zeige, dass alle Graphen der Schar punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind

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Pflichtaufgabe 3

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Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein

Gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen K und L an

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Pflichtaufgabe 4

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: P(16≤X1≤20)>0,5

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Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass 𝑝2=4⋅𝑝1 gilt

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Zeige für alle $k > 0$ , dass die Graphen von $f_{k}$ und $g_{k}$ exakt zwei Schnittstellen bei $x = 0$ und $x = 2 k$ haben

Berechne den Inhalt der Fläche, die im I. Quadranten von den Graphen von $f_{1}$ und $g_{1}$ und der $x$ -Achse eingeschlossen wird

Gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: $P (16 \leq X_{1} \leq 20) > 0,5$

Weise unter Verwendung der Abbildungen 3 und 4 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt