Teil B: Stochastik - lernen mit Serlo!

Aufgabenstellung

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $14 %$ das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Für eine Stichprobe werden $300$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.
(1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden. [1 BE]
(2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden
Es ist $n = 300$ und $p = 0,14$ .
Berechne $P (X = 36) = B (300; 0,14; 36) \approx 0,0420$
oder $P (X = 36) = (\binom{300}{36}) \cdot {0,14}^{36} \cdot {0,86}^{264} \approx 0,0420$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden, beträgt rund $4 %$ .
(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl
$μ = n \cdot p = 300 \cdot 0,14 = 42$
$10 %$ von $42 = 4,2 \Rightarrow μ + 4,2 = 46,2$ , runde nach oben $\Rightarrow 47$ .
$\Rightarrow P (X \geq 47) = 1 - P (X \leq 46) = 1 - F (300; 0,14; 46) \approx 1 - 0,7757 = 0,2243$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl, beträgt rund $22,4 %$ .
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(1)
Berechne $P (X = 36)$ .
(2)
Berechne $μ = n \cdot p$ und addiere zu $μ$ $10 %$ von $μ$ . Runde nach oben $\Rightarrow x_{1}$ .
Berechne $P (X \geq x_{1}) = 1 - P (X \leq x_{1} - 1)$ .
Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttlebusse ein. Die Fahrkarten für diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80 %$ aller gebuchten Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90 %$ auch tatsächlich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt dieser Anteil mit $95 %$ etwas höher.
(1) Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]
(2) Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte.
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
(1) Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar
$A$ : Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.
$B$ : Die Fahrkarte wird benutzt.
Baumdiagramm
(2) Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.
Gegeben:
Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte $\Rightarrow B .$
Gesucht ist dann:
$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0,8 \cdot 0,1}{P (B)} = \frac{0,08}{P (B)}$ bzw. $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0,2 \cdot 0,05}{P (B)} = \frac{0,01}{P (B)}$
Die Aussage ist wahr, da $P_{B} (A) = 8 \cdot P_{B} (A)$ .
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(1)
Übertrage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm.
(2)
Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte $\Rightarrow B .$
Gesucht ist dann: $P_{B} (A)$ und $P_{B} (A)$
Vergleiche die beiden Werte.
Der Tourismusverband vermutet, dass sich der bisherige Anteil der Radausflügler unter den Touristen von $14 %$ durch den Einsatz der Shuttlebusse erhöht hat. Die Verantwortlichen planen die Durchführung eines Signifikanztests mit einem Signifikanzniveau von $8 %$ und der Nullhypothese „Der Anteil der Radausflügler unter allen Touristen liegt bei höchstens $14 %$ .“.
Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Shuttlebusse nur dann weiterzubetreiben, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt wird.
(1) Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von $500$ Touristen durchzuführen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE)
(2) Angenommen, der beschriebene Test wird auf der Grundlage einer Stichprobe von nur $200$ Touristen durchgeführt. In diesem Fall wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn sich unter diesen mehr als $35$ Radausflügler befinden. Damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art höchstens $15 %$ beträgt, muss der tatsächliche Anteil der Radausflügler unter allen Touristen mindestens einen bestimmten Wert haben.
Ermitteln Sie diesen Wert auf ganze Prozent genau und beschreiben Sie den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang.
(5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
(1) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel
Es ist $n = 500$ und $p = 0,14$ . Das Signifikanzniveau ist $8 %$ .
$Y$ : Anzahl der Radausflügler
$P_{H_{0}} (Y \geq k) \leq 0,08 \Rightarrow 1 - P (Y \leq k - 1) \leq 0,08$
$\Rightarrow 0,92 \leq P (Y \leq k - 1) = F (500; 0,14; k - 1)$
Man findet $F (500; 0,14; 80) \approx 0,9102 < 0,92$ und $F (500; 0,14; 81) \approx 0,9286 > 0,92$ .
Demnach ist $k - 1 = 81 \Rightarrow k = 82$ .
Befinden sich mindestens $82$ Radausflügler in der Stichprobe, so wird die Nullhypothese abgelehnt.
(2) Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau
Es ist $n = 200, β = 15 %$ und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn sich unter den Touristen mehr als $35$ Radausflügler befinden.
Gesucht ist $p$ .
$\Rightarrow P (Y \leq 35) = F (200; p; 35) \leq 0,15$
$F (200; 0,2; 35) \approx 0,2151 > 0,15$ und $F (200; 0,21; 35) \approx 0,1284 < 0,15$ .
Der tatsächliche Anteil der Radausflügler müsste mindestens $21 %$ betragen.
Beschreibe die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang
Fehler 2. Art: Man nimmt irrtümlicherweise an, dass eine Hypothese korrekt ist, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
$\Rightarrow$ Obwohl der Anteil der Radausflügler auf über $14 %$ gestiegen ist, entscheidet man sich aufgrund des Testergebnisses den Betrieb der Shuttlebusse einzustellen.
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(1)
Es ist $n = 200$ und $p = 0,15$ . Das Signifikanzniveau ist $8 %$ .
$Y$ : Anzahl der Radausflügler
Berechne $P_{H_{0}} (Y \geq k) \leq 0,08$ .
(2)
Teil 1
Es ist $n = 200, β = 15 %$ und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn sich unter den Touristen mehr als $35$ Radausflügler befinden.
Gesucht ist $p$ $\Rightarrow P (Y \leq 35) = F (200; p; 35) \leq 0,15$ mit unbekanntem $p$ .
Teil 2
Fehler 2. Art: Man nimmt irrtümlicherweise an, dass eine Hypothese korrekt ist, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Was bedeutet das im Sachzusammenhang?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Aufgabenstellung

(1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden

(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens 10% größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl

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(1) Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

(2) Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

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(1) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel

(2) Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau

Beschreibe die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang

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(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl