Bestimme eine Gleichung der Tangente $G_t$ an den Graphen der Funktion h an der Stelle $x=2$

Gegeben ist $h(x)=x\cdot e^{x-2}$.

Eine Tangente berührt den Funktionsgraphen $G_h$ in einem Punkt $P$, an dem sie denselben Wert und dieselbe Steigung wie die Funktion $h$ hat.

Allgemeine Tangentengleichung $t:y=mx+b$.

Es ist $h(2)=2\cdot e^{2-2}=2\Rightarrow P(2|2)$.

Weiterhin wird die 1. Ableitung von $h$ benötigt.

Berechne die Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel:

$h^{\prime }(x)=1\cdot e^{x-2}+x\cdot e^{x-2}\cdot 1=e^{x-2}(1+x)$

Gesucht wird $m=h^{\prime }(2)=e^{2-2}(1+2)=3$.

Dann gilt: $t:y=3x+b$

Setze den Punkt $P(2|2)$ in die Tangentengleichung $t$ ein, um $b$ zu berechnen.

$2=3\cdot 2+b\Rightarrow b=-4$

Die Gleichung der Tangente $G_t$ an den Graphen der Funktion $h$ an der Stelle $x=2$ lautet $y=3x-4$.